¿Números? ¿Qué es eso?

La discusión se zanjó con una conclusión: “No es trivial”.

Manolito, de cuatro años, acababa de cuestionarle a su profe la conveniencia de aprender a comparar colecciones de cosas antes de aprender a contar cosas. Pero, ¿qué es trivial en esta vida?

Comienzo una entrada de matemáticas elementales. Pero no intuitivas, como muchos creen. Será un post largo, así que, no os perdáis las actualizaciones.

Si os habéis parado a reflexionar, podemos comparar algunos objetos en función de sus atributos (color, forma, olor...), en función de sus cometidos (para rodar, para pintar...), etcétera. También podemos comparar colecciones analizando sus equivalencias o si una se incluye en otra. Por ejemplo: una bolsa llena de caramelos y una bolsa llena de galletas, que, a su vez, ambas están en la estantería de cosas ricas para comer; se pueden comparar las bolsas para determinar si hay o no la misma cantidad de caramelos y galletas, y se puede discutir si caramelos o galletas son cosas ricas para comer y si, por tanto, pueden estar o no en la misma estantería. Si a estas colecciones las llamamos conjuntos, podríamos establecer unas relaciones formales que expresaríamos así:

Sea C el conjunto de los caramelos de la bolsa, simbolizado así:

C = { “caramelos de la bolsa” }

Sea G el conjunto de las galletas de la bolsa, simbolizado así:

G = { “galletas de la bolsa” }

Y sea R el conjunto de las cosas ricas para comer de la estantería, simbolizado así:

R = { “cosas ricas para comer de la estantería” }

¿Cómo podemos respondernos a la preguntas sobre la cantidad de objetos en una u otra bolsa, o acerca de colocarlos o no en la estantería?

Vayamos a la primera cuestión: comparar la cantidad de caramelos y la cantidad de galletas. Si no queremos o no sabemos contar, podemos ir a diversos métodos más o menos intuitivos: podemos colocar cada bolsa en los extremos opuestos de una balanza que tengamos a mano o que improvisemos, pero si creéis que esto es correcto es que habréis supuesto algo que no es evidente (que un caramelo pesa lo mismo que una galleta); o bien, podemos emparejar un caramelo con una galleta hasta vaciar una de las bolsas. Si se vacían a la vez, hay la misma cantidad de caramelos y galletas.

Como estaréis pensando, para esto no ha sido necesario contar caramelos ni galletas. Ha bastado con hacer corresponder caramelo-galleta. Para ello, por tanto, hemos establecido una correspondencia uno-a-uno. Pero, fijaos, ¿habremos tenido que determinar antes si un caramelo era un caramelo y una galleta era una galleta? Sí, pues, de no hacerlo así, cometeríamos un error (imaginaos que confundimos un caramelo con una piedra que se nos ha colado en la bolsa). Si, de forma general, llamamos elementos a cada uno de los objetos de las bolsas de los conjuntos determinados antes, C, G y R, habría que determinar qué elementos “están dentro” de esos conjuntos, y hablaríamos de una relación de pertenencia de un elemento a un conjunto dado.

Abramos la bolsa de los caramelos. Nos encontramos con las siguientes cosas: un Sugus de piña, un caramelo de fresa, un caramelo de menta, un Chupa-Chups de naranja y una gominola de plátano. Si aceptamos que todos son caramelos, que cumplen con similitudes perceptibles que no nos distraen la atención de un elemento sobre los otros -vamos, que apenas tenemos preferencias-, podemos determinar el conjunto C expresándolo así:

Sea C el conjunto formado por: un Sugus de piña, un caramelo de fresa, un caramelo de menta, un Chupa-Chups de naranja y una gominola de plátano. Lo simbolizamos así:

C = { Sugus de piña, caramelo de fresa, caramelo de menta, Chupa-Chups de naranja, gominola de plátano }

De forma análoga:

Sea G el conjunto formado por: una galleta rellena de chocolate, una galleta maría, una pasta de té y un bizcocho de soletilla. Lo simbolizamos así:

G = { galleta rellena de chocolate, galleta maría, pasta de té, bizcocho de soletilla }

Si ya nos hemos abstraído de forma suficiente, a todos los elementos de C los consideraremos como caramelos, y a todos los elementos de G, como galletas. Así, podremos determinar los conjuntos de dos maneras:

• Citando una propiedad fundamental y común en todos y cada uno de los elementos del conjunto (determinación de un conjunto por comprensión)
• Enumerando todos y cada uno de los elementos del conjunto (determinación de un conjunto por extensión)

Como veis, en ocasiones, incluso tan simples como la descrita, es complicado determinar un conjunto, sobre todo si sus elementos no atienden a conceptos formales (triángulo, número primo, grupo abeliano...).

Pero sigamos con nuestros conjuntos. Una vez aceptados todos y cada uno de los elementos de los conjuntos C y G, ya podremos relacionarlos. Podemos verlo así:

O así:

No importa, porque si, como pensamos, todos son caramelos y todos son galletas, podríamos verlo así:

Suficiente, vemos que estos conjuntos no parecen iguales en cantidad; hay un caramelo al que no le corresponde ninguna galleta. ¿Y los números?

Como sospecharéis, la cuestión sobre la inclusión, la de establecer si las bolsas pueden estar en la estantería de las cosas ricas, puede resultar igual de complicada en el momento en que haya un solo elemento de los caramelos o de las galletas que no “esté rico”. Por hacerlo fácil, todas las galletas y todos los caramelos están ricos. Así que, vale, estas bolsas pueden estar en la estantería; es decir, los conjuntos C y G están incluidos en el conjunto R, y lo podemos representar así:

Bien, hasta ahora hemos introducido de manera somera dos de los retos con los que nos encontramos cuando aprendemos la idea de número. El número, concepto que, como es obvio, viene asociado con la idea de varias cosas, de colecciones, etcétera, desde su creación (por los humanos, por supuesto), desde el origen de los tiempos. Pero pensemos también en lo siguiente: metamos un “caramelo” en una bolsita, y, a su vez, con otro “caramelo”, ambos en una bolsita algo mayor... (como las matrioskas rusas):

La bolsita de la izquierda metida en la siguiente, y esta en la siguiente, y en la siguiente, y en la siguiente... A partir de la bolsa que tiene un caramelo cada bolsa puede estar metida en una siguiente. Parece que esto nos da cierta información sobre la idea de número: después de uno, viene otro, y luego otro, y otro... O lo hacemos a la inversa, hacia atrás, hasta llegar a un elemento. O a ninguno:

Una bolsa vacía (de caramelos, claro, porque tiene aire). El conjunto vacío.

Una cuestión que no resulta baladí en la didáctica de las matemáticas es la secuencia de desarrollo y de aprendizaje del niño, y por tanto de cómo enseñarle: ¿primero diferenciar cantidades y luego el orden de los números? Si nos encontramos con dos conjuntos que tienen el mismo número de elementos, es porque, y solo por eso, se puede hacer corresponder cada elemento de un conjunto con un elemento (y solo uno) del otro conjunto; se dice que ambos conjuntos son coordinables, y tienen el mismo cardinal. Por ejemplo, si nos comemos un caramelo, ambos bolsas (conjunto C y G) tienen el mismo número de elementos, son coordinables:

He aquí una propiedad de las colecciones.

Pero, ¿qué valor le damos a esa propiedad llamada número? Para el color tenemos: rojo, naranja...; para el tamaño, grande, pequeño... ¿Para el número: ninguno, uno, varios?

Parece, pues, que existen semejanzas entre conjuntos y que las diferencias entre conjuntos pueden variar en cuestión de un solo elemento. Podemos dar valores a cada par de conjuntos coordinables. Pero tendremos que saber cuáles son esos valores, ¿no? Bien, para eso es necesario un sistema de numeración. El niño pequeño aprende antes algunos valores del sistema de numeración decimal, pero sin significado, que la relación de coordinabilidad entre conjuntos, salvo para pequeñas colecciones. A no ser que se tenga en cuenta que es capaz de discriminar conjuntos de un elemento de los conjuntos de varios elementos (que ya es un principio).

Pero, en referencia a meter (inclusión) un conjunto dentro de otro, apreciamos que parece existir cierta jerarquía, por llamarlo de una manera gráfica.

UN AXIOMA DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS (Zermelo)

Podríamos intuir que un conjunto pertenece a otro conjunto, pero cometeríamos un error elemental: un conjunto no es un elemento, salvo que sea “miembro” de un conjunto de conjuntos. Pensad, por ejemplo, en lo siguiente: “El conjunto de diputados del Congreso no es un diputado; no pertenece a sí mismo”. El conjunto de diputados del Congreso no es un elemento del conjunto de diputados del Congreso. Podríamos decir que se incluye, pero no que pertenece.

Esta aclaración formal es necesaria para deshacer la ambigüedad de nuestro lenguaje cotidiano. Matemáticamente, restringimos la noción de pertenencia a la relación de los elementos de los conjuntos, y la noción de inclusión, a la relación entre conjuntos.

Desde luego que podemos hacer conjuntos de conjuntos, como mostramos en párrafos anteriores (las bolsa C, de caramelos, y la bolsa G, de galletas, estaban incluidas en la estantería de cosas ricas R, pero -¡ojo!- no pertenecían a R; sus elementos, sí -pensad sobre esto-).

Es necesario precisar que las colecciones que percibimos alrededor suelen ser finitas (no infinitas, porque son cantidades limitadas; otra cosa sería contar las estrellas del cielo, pero no nos dedicamos a eso cotidianamente). Sin esta precisión, llegaríamos a la paradoja de Russell:

“Un conjunto pertenece a sí mismo si, y solo si, no pertenece a sí mismo”.

Lo que nos lleva a afirmar lo siguiente:

“No existe el conjunto de todos los conjuntos”.

(Si existiera, también tendría a los conjuntos infinitos, y, por tanto, también pertenecería a sí mismo. Pero, al contenerse a sí mismo, ya habría otro conjunto al que pertenecería y no sería el conjunto de todos los conjuntos).

Esta paradoja se salva con el denominado axioma de regularidad de la Teoría de Conjuntos (Zermelo y Fraenkel):

“Ningún conjunto es elemento de sí mismo”

Y como tal axioma, es un enunciado que se tiene por cierto. Si esta imposición os desasosiega, os ayudará recordar que una de la formas de determinación de un conjunto (ojo, no definición) es la determinación por extensión; es decir, enumerando sus elementos, que es como decir cuáles son los elementos que pertenecen al conjunto. Podéis verlo así: la relación de pertenencia forma parte de la determinación de un conjunto, al fijar cuáles son sus elementos.

EQUIVALENCIA ENTRE CONJUNTOS

Si nos paramos a reflexionar, esa “afinidad” entre colecciones de cosas, o entre conjuntos -por seguir con la terminología matemática que hemos ido introduciendo-, nos da idea de que un pie podría valer como una mano para por tener el mismo número de dedos. O las notas musicales con los días de la semana, o las orejas con los ojos... La “cualidad” que los clasifica es la cantidad de elementos que tiene cada conjunto. De la misma forma, podríamos imaginar colecciones vacías, que no tienen ningún elemento: partes del cuerpo humano que tiene plumas, días de la semana que comienzan por “x” (el miércoles no vale)...

La característica común de todos los conjuntos con la misma “cantidad” de elementos se denomina cardinal: hay un cardinal para los conjuntos representados con nubes, lunas y corazones; otro cardinal para los conjuntos representados con triángulo, cuadrado y pentágono; y el cardinal del conjunto vacío.

Cuando añadimos esa característica a la denominación de un conjunto, le estamos adjudicando la cualidad llamada número (ATENCIÓN: Nótese la estrecha relación entre cantidad y cualidad al referirnos a conjuntos). Hay conjuntos negros de jazz, hay conjuntos blancos de fútbol, hay conjuntos malolientes de bolsas de basura, hay conjuntos apilados de palés... Y hay conjuntos con otra “calificación” que atiende a la cantidad de elementos: de “cero” elementos, de “un” elementos, de “dos” elementos... de “mil quinientos millones cincuenta y ocho mil cuatrocientos noventa y siete” elementos...

CLASES DE EQUIVALENCIA

Los conjuntos “encerrados” en el trazo rojo del dibujo son equivalentes en número, y por eso en matemáticas se denominan clases de equivalencia a cada conjunto de conjuntos que son equivalentes. Pues bien, para precisar más, se acepta la siguiente definición de Fregue:

“Llamamos cardinal de un conjunto A a la clase de equivalencia

de todos los conjuntos coordinables con A”

Debemos observar que:

• Ninguna clase de equivalencia es vacía
• Las clases de equivalencia no tienen elementos comunes entre sí
• La unión de todas las clases es el conjunto de todos los conjuntos finitos

Que no es en absoluto trivial, pero, para no salirnos de nuestros propósitos, apelo a la intuición y a la confianza del lector para que lo acepte.

En compensación, quiero que os detengáis a pensar en la primera propiedad: “ninguna clase de equivalencia es vacía”, y volváis a mirar la clase de equivalencia que contiene al conjunto vacío -sí, lo contiene; el conjunto vacío es un [el] elemento de la clase de equivalencia del conjunto vacío-. En realidad, pensad que la clase de equivalencia del conjunto vacío es un conjunto:

¡Y tiene un elemento: el conjunto vacío!

Por eso, es coordinable (es numéricamente equivalente) con estos conjuntos:

Y, podemos representarlo dentro de la misma clase de equivalencia:

¿O no?

EL CONJUNTO VACÍO Y EL CONJUNTO DE TODOS LOS CONJUNTOS (FINITOS)

Hasta ahora he ido representando algunos “objetos” matemáticos de manera informal. Sin embargo, y sin ánimo de formalizar (todavía), es necesario introducir un símbolo que facilitará la explicación. Vamos a manejar el símbolo para representar el conjunto vacío así: Ø (podéis imaginar el símbolo de una “bolsa” -conjunto- al que hemos tachado).

Entonces el dibujo anterior lo podemos representar así:

Es decir, el conjunto Ø no tiene elementos, pero el conjunto:

No está vacío, ya que tiene un elemento: el conjunto vacío.

(Recordad que se pueden hacer conjuntos de conjuntos, y que solo así un conjunto “pertenece” a otro conjunto; pero -¡ojo!- ese conjunto es un elemento porque estamos dando una determinación del conjunto al que pertenece por comprensión que “especifica”: conjunto de conjuntos. Es como un metalenguaje, como si habláramos de palabras que son sustantivos, en lugar de referirnos a nombres de cosas que se comen)

Vamos a ver “de qué está hecho” el conjunto de todos los conjuntos -insisto, conjuntos finitos-, que vamos a denominar F.

Para empezar, estaréis conmigo en que el conjunto vacío, Ø, pertenece al conjunto de todos los conjuntos, F; es decir, el conjunto sin ningún elemento pertenece a F. Vale, ¿qué más? También pertenecerán a F todos los conjuntos con un solo elemento, ¿no? Así sucesivamente añadiendo un elemento, otro elemento, otro elemento... (sin fin; bueno, nadie dijo que el conjunto de todos los conjuntos finitos no fuera infinito). Aparentemente, no estoy añadiendo mucha novedad, pues, si recordáis la tercera propiedad de las clases de equivalencia, la unión de todas las clases nos da el conjunto de todos los conjuntos. Pero sí hay una novedad en esta descripción: la diferenciación entre clases según tengan un elemento más (o menos, o ninguno). Así que, si os parece, vamos a escoger uno solo de los conjuntos de cada clase de equivalencia; o sea, a un representante de cada clase.

Para la clase del conjunto vacío, solo tenemos al conjunto vacío, Ø, sin elementos.

Para la clase de conjuntos con un elemento, podemos tomar el conjunto que contiene al conjunto vacío:

Para la clase de conjuntos con dos -¡ups!- elementos, el conjunto que contiene al conjunto vacío y al conjunto que contiene al conjunto que contiene al conjunto vacío:

Y así, sucesivamente. Es decir, podríamos ir “construyendo” un equivalente al conjunto de todos los conjuntos así:

...

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: CARDINAL Y COORDINABILIDAD

Estos conjuntos (formados con representantes de clases de equivalencia) son coordinables con los conjuntos del mismo número de elementos, y, volviendo a la definición de cardinal, cada uno de estos conjuntos tiene el mismo cardinal que toda la clase de equivalencia que representa.

Pues bien, sin entrar en formalismos, todos los cardinales de las clases de equivalencia del conjunto de todos los conjuntos constituyen el denominado conjunto de los números naturales, que representamos como ℕ.

Ahora bien, la denominación de cada uno de los elementos de ℕ, cada número natural, depende de un convenio. Siguiendo con nuestra economía de medios, vamos a fijarnos de nuevo en lo que tenemos hasta ahora.

Tenemos la idea de cardinal de un conjunto. A partir de ahora, nombraremos al cardinal de un conjunto A, como card A. Y vamos recurrir a dos guarismos conocidos por todos para el cardinal del conjunto vacío y para el cardinal de los conjuntos de un elemento. Esos guarismos representan gráficamente los números que llamamos “cero” y “uno”, respectivamente. Si tomamos a cada representante de la clase de equivalencia que representamos arriba, podemos expresar lo siguiente:

card Ø = 0, número “cero”

card {Ø} = 1, número “uno”

Donde el conjunto {Ø} es lo que habíamos representado así:

En fin, que volvemos a la notación de las llaves ({}).

NOCIONES SOBRE LA REPRESENTACIÓN NUMÉRICA

Ya tenemos 0 y 1 como símbolos (guarismos) de dos -¡ups!- números. Pero vemos que, añadiendo un elemento más, vamos teniendo nuevos conjuntos, nuevos cardinales, y nuevos números, por tanto. Quizá nos sirva con esos dos símbolos. Imaginemos el significado de lo siguiente:

card Ø = 0

card {Ø} = 1

card {{Ø},Ø} = 10

card {{{Ø},Ø},Ø} = 100

card {{{{Ø},Ø},Ø},Ø} = 1000

card {{{{{Ø},Ø},Ø},Ø},Ø} = 10000

card {{{{{{Ø},Ø},Ø},Ø},Ø},Ø} = 100000

…

¿No habría una manera de hacerlo menos voluminoso? Sí, porque, al fin y al cabo, de esa manera, no estaríamos avanzando nada en la simbolización; cada cifra simboliza un elemento y poco más, nos habría dado lo mismo llamarlo 1, 0, ♣ ó €.

Los matemáticos, que son personas muy perspicaces, pensaron en lo siguiente: como solo tenemos dos símbolos, cada vez que añadamos un elemento, pasaremos de un guarismo al siguiente. Pero, para distinguirlo de número anterior, le haremos cambiar de posición. Veamos cómo:

card Ø = 0, está claro por convenio. Añado un elemento:

card {Ø} = 1, está claro por convenio. Añado un elemento:

Para el card {{Ø},Ø} tengo que añadir una posición más y mantengo el 1; convengo en añadir esa posición a la derecha del 1 y ahí dibujar el 0:

card {{Ø},Ø} = 10. Añado un elemento:

Para el card {{{Ø},Ø},Ø} no tengo que añadir una posición más; mantengo la posición a la derecha del primer 1 y ahí dibujo el siguiente al 0, que es el 1:

card {{{Ø},Ø},Ø} = 11. Añado un elemento:

Para el card {{{{Ø},Ø},Ø},Ø} tengo que añadir una posición más de nuevo y mantener lo anterior, 1; a su derecha dibujo el 0, como indicador de que comienzo ya con tres -¡ups!- cifras:

card {{{{Ø},Ø},Ø},Ø} = 100. Etcétera.

Bueno, podemos disponer de más símbolos, como por ejemplo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.