EL ORDEN DE LOS SUMANDOS

Creemos que muchas cosas son irreversibles, pero ¿nos hemos parado a pensar sobre ello? La propiedad conmutativa es un ejemplo de reversibilidad, pero ni siquiera se da en todos los objetos matemáticos: no es conmutativo el producto de matrices, por ejemplo.

Porque no sólo de conjuntos vive la aritmética, y porque no todas las operaciones son reversibles, vamos a mostrar la dificultad que entraña asumir algo tan comúnmente aceptado como es la propiedad conmutativa de la adición de números naturales. Son matemáticas elementales, pero requiere especial atención. La magia está en la demostración.

Conceptos primitivos (números naturales)

Hace un siglo el matemático Giuseppe Peano abordó la cuestión del número pensando en estas evidencias o conceptos primitivos:

• Existe un conjunto, que nombramos N, al que llamaremos “conjunto de los números naturales”
• Existe un objeto matemático, que nombramos “1” y llamaremos “uno”
• Existe una relación entre elementos del conjunto N, que nombramos “sig ( )”, que llamaremos “siguiente de”

Para cualquier lector de este post la noción de número natural es conocida o suficientemente intuida. Por otra parte, es bastante sabido, que no se suele incluir al “cero” como un elemento del conjunto N. Sin embargo, es cotidiano el uso del “cero”: es el número que indica que no hay nada en una caja, en una bolsa... De manera, que de ahora en adelante, adoptaremos una segunda consideración de los conceptos primitivos de Giuseppe Peano:

• Existe un conjunto, que nombramos N, al que llamaremos “conjunto de los números naturales”
• Existe un objeto matemático, que nombramos “0” y llamaremos “cero”
• Existe una relación entre elementos del conjunto N, que nombramos “sig ( )”, que llamaremos “siguiente de”

Axiomas de Peano

A partir de estos conceptos primitivos, Peano formula varios axiomas (premisas que se asumen como ciertas) para construir los números naturales. Éstos son los axiomas que enuncia:

I) 0 ∈ N
(“cero” pertenece al conjunto N; “cero” es un número natural)

II) a ∈ N ⇒ sig(a) ∈ N
(El siguiente de cualquier elemento de N pertenece a N)

III) a ∈ N ⇒ sig(a) ≠ 0
(“cero” no es el siguiente elemento de ningún elemento de N)

IV) sig(a) = sig(b) ⇒ a = b
(Si los siguientes de dos elementos son iguales, entonces esos elementos son iguales)

V) Axioma de inducción completa, dice así:

Sea A ⊂ N, tal que: 

(Cualquier subconjunto A incluido en N que contenga al "cero", y donde se verifique que, por tener un elemento, tiene a su siguiente, es el mismo N; tiene a todos los números naturales)

Una operación en el conjunto de los números naturales: la adición

A partir de los axiomas establecidos por Peano, se demuestra el teorema de la existencia de la adición de números naturales (y, si se quiere, de la unicidad de la suma):

Existe en N una operación binaria interna, llamada “adición”, y denotada con “+”,

+: N x N → N

    (a , b) → a + b, ∀ a, b ∈ N, tal que se cumple:

1) a + 0 = a                           (En adelante lo denotaremos así: 1^a “+”)

2) a + sig(b) = sig(a+b)       (En adelante lo denotaremos así: 2^a “+”)

Al elemento imagen de esta operación, a + b, se le denomina “suma de a más b” o “suma de a y b”. Y tanto a como b se denominan sumandos.

Cuando sumamos, pueden surgir varias cuestiones, como por ejemplo:

• ¿Cómo sumamos cuando tenemos más de dos sumandos?
• ¿En qué orden sumamos?
• ...

La soluciones a esas preguntas vienen orientadas por las propiedades de la adición de números naturales, o, como se suele expresar, las propiedades (N, +).

Antes de centrarnos en el propósito específico de este post, vamos a enunciar una primera propiedad y pasaremos a demostrarla con el bagaje que contamos: los axiomas de Peano y la definición de la operación adición. A su vez, esta propiedad, también nos permitirá demostrar ese propósito específico que pasa por la propiedad conmutativa de la adición en N. Pero antes, vayamos a una propiedad más trivial:

>Propiedad asociativa (N, +):  (En adelante lo denotaremos así: Asoc "+")

∀ a, b, c ∈ N, se verifica: (a + b) + c = a + (b + c)

Demostración (por inducción completa, axioma V)
i) c = 0
  (a + b) + c = (a + b) + 0 = a + b = a + (b +0) = a + (b + c), c = 0 ┃
                                       1ª "+"          1ª "+"

ii) c = c1 
                                            ?
   (a + b) + c1 = a + (b + c1) ⇒ (a + b) + sig(c1) = a + (b + sig(c1))
             Hipótesis                                        Tesis
  Suponiendo cierta la hipótesis, verifiquemos si es cierta la tesis. Tomemos un término de la igualdad:
(a + b) + sig(c1) = sig[(a + b) +c1 ] = sig[a + (b + c1)] = a + sig(b + c1) =
                         2ª "+"                          hipótesis                         2ª "+"                             2ª "+"                  
                          = a + (b + sig(c1)) ┃
                                 2ª "+"

iii) En virtud del axioma de inducción, como se cumplen i) y ii), queda demostrada la propiedad asociativa de la adición para cualesquiera números naturales:

∀ a, b, c ∈ N, se verifica: (a + b) + c = a + (b + c)           (c.q.d.)

>Propiedad conmutativa (N, +)
Su enunciado es bien sencillo:
∀ a, b ∈ N, se verifica: a + b = b + a
Demostración (por inducción completa, axioma V)

i) ¿ a + 0 = 0 + a   ∀ a ∈ N ?

   A. 0 + 0 = 0 = 0 + 0, porque la suma es única y el cero es único (trivial).
            a     b  1ª "+"   b     a
   
   Veamos para b = 0:
   a + b = a + 0 = a , pero no sé cómo es 0 + a. Así que conjeturo que a1 + 0 = 0 + a1.
                       1ª "+"
   Entonces:              ?
   B. a1 + 0 = 0 + a1 ⇒  sig(a1) + 0 = 0 + sig(a1)
             Hipótesis                                Tesis
   Verificamos si es cierta la tesis:
   0 + sig(a1) = sig(0 + a1) = sig(a1 + 0) = sig(a1) = sig(a1) + 0  ┃
                   2ª "+"           hipótesis                1ª "+"             1ª "+"

   C. De A. y B. se demuestra:

a + 0 = 0 + a   ∀ a ∈ N (1er paso de la inducción, c.q.d.)

     OBSERVACIÓN: Obsérvese que en el paso B. hemos hecho la inducción sobre a1:

a1 + 0 = 0 + a1 ⇒  sig(a1) + 0 = 0 + sig(a1)           (I)

     Pero no sobre 0 ("cero"):

                                                         ?

a + 0 = 0 + a ⇒ a + sig(0) = sig(0) + a          (II)

                                                                        
     Podría parecer a simple vista que ambas implicaciones son equivalentes ((I) ⇔ (II)).
     Pero esto no es trivial; sólo se puede demostrar verificando la Tesis de (II).
     

     Demostración de la Tesis de (II) (¿ ∀ a ∈ N, a + sig(0) = sig(0) + a ?)

     (Siguiendo el axioma de inducción: primero para a = 0, y después para a = a1)
     (1) a = 0
        sig(0) + 0 = sig(0)  0
                       1ª "+"  
        Como sig(0) es un valor particular de n y en el subapartado C. hemos demostrado:
        ∀ n ∈ N, n + 0 = 0 + n, queda demostrado:

sig(0) + 0 = 0 + sig(0)  ┃

     (2) a = a1

?

      sig(0) + a1 = a1 + sig(0) ⇒ sig(0) + sig(a1) = sig(a1) + sig(0)

Hipótesis                                   Tesis

        Asumiendo cierta la hipótesis, verifiquemos la certeza de la tesis:

        sig(0) + sig(a1) = sig(0) + sig(a1 + 0) = sig(0) + [a1 + sig(0)] =

                              1ª "+"                            2ª "+"                             Asoc "+"    

                                = [sig(0) + a1] + sig(0) = [a1 + sig(0)] + sig(0) =

                           Asoc "+"                           hipótesis                           2ª "+"

                                = sig(a1 + 0) + sig(0) = sig(a1) + sig(0)  ┃

                               2ª "+"                          1ª "+"

     (3) De (1) y (2) se sigue (en virtud del axioma de inducción) que:

∀ a ∈ N, a + sig(0) = sig(0) + a          (α)

(c.q.d.)

     Como veremos en el siguiente paso, ha sido imprescindible demostrar (α).

ii) b = b1.
Para no perdernos, en i) demostramos que se cumple la propiedad conmutativa para el 0. Continuamos con la demostración de la propiedad conmutativa en (N, +) y vamos a la segunda premisa del axioma de inducción. Suponiendo cierto a + b1 = b1 + a (hipótesis), deberemos demostrar que se verifica: a + sig(b1)= sig(b1) + a (tesis); es decir:

                                                                  ?

a + b1 = b1 + a ⇒ a + sig(b1)= sig(b1) + a

Hipótesis                      Tesis

a + sig(b1) = sig(a + b1) = sig(b1 + a) = b1 + sig(a) = b1 + sig(a + 0) =
                 2ª "+"             hipótesis           2ª "+"             1ª "+"                  2ª "+"

                 = b1 + [a + sig(0)] = b1 + [sig(0) + a] = [b1 + sig(0)] + a =
                 2ª "+"                       ()                       Asoc "+"                 2ª "+"

                 = sig(b1 + 0) + a = sig(b1) + a  ┃
                 2ª "+"                   1ª "+" 



iii) De i) y de ii), por el axioma de inducción, se sigue que:

∀ a, b ∈ N, se verifica: a + b = b + a         (c. q. d.)

Moraleja de este post: Cuando os encontréis con un niño que suma 1 + 3 y luego vuelve a sumar 3 +1 con sus dedos, tratad de comprenderle; está experimentando para aprender a sumar. La generalización de la propiedad conmutativa de la adición de números (incluso los complejos) acabará aceptándola al cabo de los años.


NOTA para el lector tiquismiquis: Es más fácil una demostración de la propiedad conmutativa de la adición en N partiendo de la noción de cardinal de un conjunto, pero hay que partir, a su vez, de la conmutatividad de la unión de conjuntos, que, a su vez...