El valor de nada

Calendario hinduista

Son los números ese gran invento del hombre que sirvió para contar y para comparar cantidades, entre otras cosas. Sin embargo, como tantos objetos abstractos, la dificultad de su representación ha ido mostrándonos diferentes sistemas a lo largo de la Historia. Hoy en día utilizamos un sistema de representación numérica posicional, que en base diez sabemos aplicarlo desde que acudimos a la escuela.

Vamos contando y acumulando unidades hasta tener diez, y nos apuntamos esa primera decena. Seguimos contando y acumulando unidades, hasta la siguiente decena... Con diez decenas, ya tenemos la primera centena, etcétera. Es un sistema de representación práctico porque nos recalca el orden en que vamos contando y acumulando unidades. Y, así, no es lo mismo 1234 que 4321, por ejemplo. 


Pero no vengo a hablaros de contar objetos, sino de contar giros. Más concretamente, vueltas al Sol, que es la forma en que contamos los años, ¿verdad? Para ello he de empezar admitiendo que a los niños no siempre les dejamos experimentar y hacerse preguntas. O, al menos, a veces nos adelantamos en nuestras respuestas. El caso es que, tras observar que “el Sol se mueve” entre el día y la noche, le decimos al niño que es la Tierra la que gira sobre sí misma (rotación). Vamos más allá y realizamos un viaje por el Espacio a bordo de una nave para ver cómo, además, la Tierra gira en torno al Sol (traslación)... Y el peque se lo cree (sí, se lo cree). Solemos utilizar modelos de psicomotricidad para que “el niño lo acepte con mejor comprensión” –ojo con este comentario–: el niño da vueltas sobre sí mismo mirando una ventana por donde entra la luz solar y le ayuda a intuir la rotación constatando que la luz está fija; el niño da vueltas alrededor de una pelota amarilla en el centro del salón, y a cada vuelta completa le decimos que ha completado un año de traslación.

Pero, ¿y mientras?

Es la pregunta que se hace tu hijo cuando han pasado unos meses de su cumpleaños: “Papá, ¿ya tengo cuatro años y pico?” (que se suele responder con este chascarrillo: “No, no tienes pico, tienes boca”). Y claro, entonces el niño hace una ilación de las suyas: “¿Entonces Manuel por qué tiene cero años?”. En realidad su primo tiene cuatro meses; es decir, un tercio de año, que no es cero, y tratas de explicárselo con un “reloj del año”, tal que así:

Recordemos que el niño empezaba a retener la secuencia “uno, dos, tres” a partir del equivalente al “preparados, listos, ya”, justo antes de empezar a saltar, a correr... Que, posteriormente, fue aplicando para nombrar pequeñas cantidades de objetos, al contarlas primero, y, con suerte, compararlas después. Pero la palabra “cero” no le era familiar, sino, más bien: “ninguno” o “nada”. Artificialmente va incorporando la expresión “cero cosas”, que suele chocarle, puesto que ya tiene interiorizado que el plural es para colecciones de cardinal mayor que uno y le hemos recalcado que cero es “menos” que uno.

Pues bien: “Mira, un año es una vuelta al Sol. Tu primo Manuel aún no ha terminado de dar la vuelta al Sol, y por eso aún no tiene un año”. Nuestro hijo nos contempla sin creernos y añade: “Manuel ya ha nacido, así que no tiene cero años”. Y tú, desesperándote por no explicarle los quebrados a sus cuatro años (y pico), echas mano del reloj del año y le señalas los meses (sin olvidar que tu hijo hace un verdadero acto de fe creyéndose la milonga de la traslación de la Tierra en torno al Sol).

Esto es tan verídico como el proceloso camino que hemos seguido desde los antiguos egipcios para medir el año. Ya hace más de cuatro mil años que lo dividían en 365 días y en doce meses de treinta días; les sobraban cinco días, que no correspondían a ningún mes (obsérvese que 360 días corresponden con los 360º de una circunferencia). Los romanos comenzaron empleando un calendario de diez meses (hasta diciembre), que, por caprichos de César, pasó a ser de once (añadiendo julio) y, por los de su sobrino Augusto (ya emperador, y para no ser menos), pasó a ser de doce meses (añadido agosto). En realidad, Augusto llevó a cabo esa modificación también para introducir una corrección: los años bisiestos cada cuatro años. Modificación insuficiente hasta que en 1582 el Papa Gregorio XIII acometió la reforma definitiva para corregir un desfase de diez días desde el año 325 (Concilio de Nicea). Desde entonces adoptamos en casi todo el mundo el calendario gregoriano, que mantiene los bisiestos salvo en los años múltiplos de cien que no sean múltiplos de cuatrocientos (Ej: 1900 no es múltiplo de 400, y no fue bisiesto; 2000 sí es múltiplo de 400, sí fue bisiesto). Y todo ello debido a que el año trópico dura algo más de 365 días (aproximadamente 5 horas y 49 minutos más).

Debido a estos cambios, nos dejamos algunos asuntos por el camino. Por ejemplo: Teresa de Jesús murió el 4 de octubre de 1582 y fue enterrada al día siguiente, el 15 de octubre de 1582; o, Cervantes murió el 23 de abril de 1616, pero Shakespeare murió diez días después, el 3 de mayo, ya que Inglaterra no adoptó el calendario gregoriano hasta 1752.

Sin embargo, hay una cuestión que no hemos sido capaces de resolver con calendario civil alguno: y es que en el calendario gregoriano no hay año cero. Y tampoco hay siglo cero. Así que, a pesar de la denominación histórica a. C. y d. C., resulta que Cristo nació en el año 1, del siglo I, y no en el año cero. Hay muchas pegas para cambiar esta convención, y es posible que no se cambie. En cualquier caso, ahora ya comprenderéis mejor a vuestros sobrinos ante su dificultad para incluir el cero en su colección de números. ¿Diríais que el cero es un número natural? Algunos matemáticos no lo tienen tan claro.

Y no lo habéis preguntado, pero por qué dividir el año en meses y no en semanas. Fijaos en que 365 no es múltiplo de siete (días), pero 364 sí. ¿Recordáis que a los antiguos egipcios les “sobraban” cinco días en su año de 365? Pues podríamos tener años de 364 días con dos días de Nochevieja. ¡Feliz Año Nuevo a todos!

Números naturales “linealmente independientes”

A priori el título suena aberrante, pues la dependencia lineal es una propiedad que se atribuye a los elementos de los espacios vectoriales, y el conjunto de los números naturales no es un subespacio vectorial. No obstante, si os atrevéis a jugar con la representación numérica binaria, os lanzo el reto de encontrar en qué condiciones podríamos hablar de números naturales linealmente independientes.

Esta entrada participa en la Edición 5.4 del Carnaval de Matemáticas,

cuyo blog anfitrión es Gaussianos.

En un post anterior presenté una relación entre los números naturales y una forma especial de bases en espacios vectoriales (Triángulos que general espacios vectoriales). Aquello era de aplicación para cualquier espacio vectorial isomorfo a Rⁿ.

En aquel post llegamos a esto:

Dado un n ∈ N, la base de Rⁿ de la forma ordenada:

B_n = {(1,1,...,1,1),

        (1,1,...,1,0),

…

        (1,1,...,0,0),

        (1,0,...,0,0)}

Viene determinado por:

b(n) = 1 + (n-1)•2ⁿ

b(n) ∈ N

Para ejemplificarlo utilicé unas bases muy concretas (escalonadas y ordenadas):

B₁={(1)}⊂R¹

B₂={(1,1), (1,0)}⊂R²

B₃={(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}⊂R³

B₄={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0)}⊂R⁴

Ahora eliminemos algunas restricciones y centrémonos en los componentes de los vectores que las forman:

1

1 1

1 0

1 1 1

1 1 0

1 0 0

1 1 1 1

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 0 0

Cada fila tiene uno, dos, tres o cuatro numerales, que son los coeficientes del desarrollo polinómico de diferentes números naturales en base 2. Esta es su equivalencia en base 10:

1₍₂ = 1₍₁₀

11₍₂ = 3₍₁₀

10₍₂ = 2₍₁₀

111₍₂ = 7₍₁₀

110₍₂ = 6₍₁₀

100₍₂ = 4₍₁₀

1111₍₂ = 15₍₁₀

1110₍₂ = 14₍₁₀

1100₍₂ = 12₍₁₀

1000₍₂ = 8₍₁₀

Pero en esos agrupamientos faltan números naturales. Mejor así:

1₍₂ = 1₍₁₀

10₍₂ = 2₍₁₀

11₍₂ = 3₍₁₀

100₍₂ = 4₍₁₀

101₍₂ = 5₍₁₀

110₍₂ = 6₍₁₀

111₍₂ = 7₍₁₀

1000₍₂ = 8₍₁₀

1001₍₂ = 9₍₁₀

1010₍₂ = 10₍₁₀

1011₍₂ = 11₍₁₀

1100₍₂ = 12₍₁₀

1101₍₂ = 13₍₁₀

1110₍₂ = 14₍₁₀

1111₍₂ = 15₍₁₀

Planteamiento del problema

Vamos a jugar con la siguiente analogía:

• Los números naturales, en su representación numérica binaria, se comportan como vectores de Rⁿ (no son vectores por no existir elemento opuesto en N; "pues tómese Z", pero ya es otro juego –los polinomios en que se descomponen sí son vectores- ).

• Obsérvese que el cardinal de cifras de un número en sistema binario es igual a la dimensión del espacio vectorial de los polinomios que lo descompone:

1₍₂=1₍₁₀=1·2⁰ 11₍₂=3₍₁₀= 1·2¹+1·2⁰ 111₍₂=7₍₁₀=1·2²+1·2¹+1·2⁰ 1111₍₂=15₍₁₀=1·2³+1·2²+1·2¹+1·2⁰

                    10₍₂=2₍₁₀= 1·2¹+0·2⁰ 110₍₂=6₍₁₀=1·2²+1·2¹+0·2⁰ 1110₍₂=14₍₁₀=1·2³+1·2²+1·2¹+0·2⁰

                                                    100₍₂=4₍₁₀=1·2²+0·2¹+0·2⁰ 1100₍₂=12₍₁₀=1·2³+1·2²+0·2¹+0·2⁰

                                                                                            1000₍₂= 8₍₁₀=1·2³+0·2²+0·2¹+0·2⁰

(Esto sucede en cualquier base de numeración.Por ejemplo: 

49 en base 10 tiene dos cifras y se descompone

solo en suma de dos monomios en base 10: 4 x 10 + 9 x 1)

Según este planteamiento, los números entre “dieciséis” y “treinta y uno” son “vectores” en R⁵. Y así sucesivamente con el resto de los números naturales “al representarlos” en base binaria. Es decir, este es el punto de partida de nuestro planteamiento:

“Consideramos vectores de Rⁿ los números naturales que son menores o iguales que 2^(n-1) y mayores que 2^(n-2), para un n ∈ N dado”.

Por ejemplo: Sean 64<67<93<128

64 = 2⁶, luego 64₍₁₀ es vector de R⁷ (1000000₍₂ ∈ R⁷)

128 = 2⁷, luego 128₍₁₀ es vector de R⁸ (10000000₍₂ ∈ R⁸)

Y, por tanto, 67₍₁₀ y 93₍₁₀ son vectores de R⁷ (1000011₍₂ ∈ R⁷ y 1011101₍₂ ∈ R⁷)

Siguiendo con la analogía (“número natural en binario – vector en Rⁿ“), observamos lo siguiente:

{(1)} es base en R¹

{(1, 0), (1, 1)} es base en R² ,

como ya indicamos más arriba.

Pero llegamos a R³, donde nos encontramos con que cuatro vectores se pueden combinar de cuatro maneras diferentes en conjuntos de tres vectores (combinaciones de cuatro elementos tomados de tres en tres). Veámoslos dispuestos en cuatro matrices:

1 0 0      1 0 0      1 0 0       1 0 1

1 0 1      1 0 1      1 1 0       1 1 0

1 1 0      1 1 1      1 1 1       1 1 1

Ya señalamos que los vectores de la tercera matriz representada – {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} – eran base en R³. Pero también lo son las otras tres:

B_3'={(1,0,0), (1,0,1), (1,1,0)}⊂R³

B_3''={(1,0,0), (1,0,1), (1,1,1)}⊂R³

B_3'''={(1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}⊂R³

Sus determinantes son todos distintos de cero. Luego cada fila es linealmente independiente en cada matriz, y, por tanto, los vectores cuyas coordenadas son las filas de cada una de esas matrices forman una base en R³. Esto llama la atención:

• Todos los números naturales que pueden asociarse a vectores en R³ se combinan de tres en tres (la dimensión de R³ es tres) y son “linealmente independientes”.

• Es decir, cualquier conjunto formado por tres de ellos (diferentes entre sí, obviamente) es una base de R³.

Parece llamativo que, siendo cuatro, mayor que la dimensión del espacio R³, tres, no haya ningún vector que sea combinación lineal de los otros.

En base decimal diríamos que los números de cada una de estas triadas son “linealmente independientes”:

4 5 6       4 5 7      4 6 7       5 6 7

Pero, ¿ocurre lo mismo en cualquier dimensión?

Veamos qué sucede en R⁴.

Vamos a replantear la pregunta tomando los “números – vectores” en este espacio vectorial, que son estos:

1000₍₂ = 8₍₁₀

1001₍₂ = 9₍₁₀

1010₍₂ = 10₍₁₀

1011₍₂ = 11₍₁₀

1100₍₂ = 12₍₁₀

1101₍₂ = 13₍₁₀

1110₍₂ = 14₍₁₀

1111₍₂ = 15₍₁₀

Tomemos, por ejemplo, los cuatro primeros números: 8, 9, 10 y 11, expresados en base binaria:

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

El determinante de su matriz es nulo (obsérvese que los elementos de su segunda columna son todos “cero”). Luego, 8, 9, 10 y 11 son “linealmente dependientes” en R⁴.

Esto parecía que era de esperar: si solo cuatro vectores hacen hacen una base en un espacio vectorial de dimensión cuatro, sobran combinaciones de vectores por todos lados.

Las combinaciones posibles de esos ocho “vectores” son setenta (“combinaciones de 8 elementos tomados de 4 en 4”):

Luego, hay que calcular setenta determinantes de orden cuatro. Se calculan y se obtienen doce de ellos con valor cero. Son las combinaciones de cuatro vectores que son linealmente dependientes en R⁴. Siguiendo con nuestro juego, son los siguientes números representados en base decimal (en filas):

Las otras cincuenta y ocho combinaciones de cuatro vectores sí nos dan independencia lineal.

EL RETO

Siguiendo el planteamiento expuesto:

1. ¿Se puede hallar qué combinaciones de n números naturales son “linealmente independientes” en Rⁿ?

2. Si no se puede encontrar qué criterios rigen para combinarse ¿al menos se puede encontrar un criterio para conocer cuántas de ellas serían bases en Rⁿ?

3. A esta última pregunta se podría responder con un algoritmo, pero la pregunta va más allá: ¿se podría formular un teorema que diera ese criterio: tantas combinaciones linealmente dependientes, tantas linealmente independientes?

Nótese, como hemos ido indicando, que esas combinaciones cuentan con el mismo número de vectores que la dimensión del espacio vectorial, luego generan cualquier vector de ese espacio vectorial y, en caso de estar formadas por vectores linealmente independientes, son bases (en el post antes mencionado ya dimos una base para cada espacio vectorial de dimensión n, en relación con números naturales).

Una última consideración: A continuación os presento en una tabla un resumen del planteamiento en cifras. Observad que, si no habéis llegado a la solución del reto antes de la dimensión diecisiete, tendréis que calcular alrededor de 2,13 · 10⁶⁷ determinantes de orden 17.

¡Suerte!

Triángulos que generan espacios vectoriales

Asociados a los espacios vectoriales encontramos matrices que pueden representar bases. La traza o el determinante de una matriz son números que caracterizan a esa matriz, pero no solo a esa. En este post se presentará una relación no de los elementos de un cuerpo algebraico, sino de los números naturales que pueden determinar una forma de bases en espacios vectoriales.

Triángulo de Sierpinski (fuente)

(Antes de comenzar: tenéis la opción de echar un vistazo al ANEXO -al final del artículo, después del dibujo de una tarta de cumpleaños-, donde trazo una explicación de andar por casa -o por casas- con un modelo muy sencillito hasta la dimensión 3)

Muchos de vosotros conocéis los números triangulares:

  1 + 2 =  3

  3 + 3 =  6

  6 + 4 = 10

10 + 5 = 15

...



Los cuatro primeros son los que se muestran en rojo (el número triangular siguiente a 10 es 15). Como veis, cada número triangular "cuenta" los guarismos que van ocupando un triángulo. 

También lo podemos representar así (debajo de cada triángulo se indica el número triangular en rojo, que es la suma de "unos" de ese triángulo):

Estos números naturales siguen una sucesión cuyo término general es:

Supongamos ahora más triángulos, pero con otros valores. Como estos:

En los que también se suma el interior (como en los triángulos de unos) y se indica en color rojo. Esas sumas siguen una sucesión con este término general:

Hemos sustituido cada "1" por una potencia de "2", avanzando en un grado el exponente en cada fila.

Gráficamente se podría ver algo así:

De manera que empezamos por 2º y seguimos añadiéndole filas a la secuencia triangular, que se expande, pero mucho menos de como lo hace el "tamaño" de los elementos en filas sucesivas:

Estiremos los triángulos hasta hacerlos triángulos rectángulos y rectifiquemos la rotación que habíamos hecho, hasta poner uno de sus catetos en vertical:

Y pensemos en lo siguiente (descomposición polinómica de un número, según el sistema de numeración posicional, en este caso en base dos o binaria):

Que es equivalente a esto otro (en este enlace tenéis un conversor de base numérica):

Los numerales de los números binarios de cada fila son los coeficientes del desarrollo polinómico de cada igualdad, que lo podemos expresar como matrices:

Cada fila de cada matriz se puede considerar respectivamente un vector de:

Espacios vectoriales de dimensión 1, 2, 3 y 4 respectivamente, e isomorfos a los espacios vectoriales de los polinomios de grado 0, 1, 2 y 3 (de dimensión 1, 2, 3 y 4, por tanto). Todas las filas de cada matriz son vectores linealmente independientes y, además, su cardinal (que coincide con el rango de cada matriz) es igual a la dimensión de cada uno de los espacios vectoriales referidos. De manera que, esos vectores filas son bases de cada espacio vectorial:

Cada una de estas bases está determinada por un número natural y solo uno (existe ese número natural y es único) obtenido de la suma de los polinomios generados por los vectores de cada base en su descomposición polinómica en la base usual (o canónica):

(Obsérvese que el cardinal de cifras de un número en sistema binario es igual a la dimensión del espacio vectorial de los polinomios que lo descompone. Pero, atención, sucede en cualquier base de numeración. Por ejemplo: 49 en base 10 tiene dos cifras y se descompone solo en suma de dos monomios en base 10: 4 x 10 + 9 x 1)

Se puede demostrar por inducción el siguiente resultado general:

Obsérvese que el crecimiento rápido (exponencial) de estos números viene determinada por la descomposición en potencias de dos (que es como se descompone el número en base binaria). Por eso motivo media un abismo entre números cada vez mayores relacionados con esas bases. Pero, con todo, siguen siendo ℵ0, como es natural ☺

Se pueden encontrar más resultados acerca de esta sucesión (A000337) en este enlace.

No lo habéis preguntado, pero aquí tenéis la relación recursiva entre esta sucesión y la de lo números triangulares:

Ese "retardo" en tres elementos parece coherente si lo comparáis con el retardo que se produce entre las filas diagonales de números triangulares y las sumas de las filas (sumas de los binomiales) del triángulo de Pascal.


Por último, para acabar, dedico este post a mi hijo, que pasado mañana cumplirá 3 años (como tres lados, tres vértices, tres ángulos... tiene el triángulo).

¡Feliz cumpleaños, hijo!

ANEXO I: Aquí tenéis la segunda parte en forma de reto: Números naturales "linealmente independientes"


ANEXO II: Triángulos que generan espacios vectoriales explicado para mi hijo de tres años

Este anexo se lo debo a Tito EIiatron, quien me sugirió que tratara de explicar lo anterior a mi hijo de tres años. Y así lo haré, pero se lo explicaré dentro de dos años, cuando cumpla cinco.

Vamos a jugar a hacer ciudades con los bloques de contrucción. Esas ciudades han de tener forma de triángulo. Veamos cómo se construyen:

• Una ciudad pequeña con una sola casa: 1 bloque

• Añadimos dos casas más y tenemos una ciudad mediana con tres casas: 3 bloques

• Añadimos tres casas más y tenemos una ciudad grande con seis casas: 6 bloques

Pero a esas ciudades va más gente, mucha más cuanto mayor es la ciudad. Por eso tenemos que hacer las casas más altas. Con una condición: todas las casas que están en la misma fila crecen el doble que la anterior (todas las casas de una fila tienen que estar a la misma altura):

• En la ciudad pequeña apenas va gente, así que la casa se queda como está: 1 bloque

• En la ciudad mediana tenemos que subir la altura de dos casas, un piso de altura más a cada una, para ser el doble de altas que la primera casa. Para cada piso utilizamos un bloque. Así que, en total, en esta ciudad tenemos 5 bloques.

• En la ciudad grande subimos la altura de dos casas (como en la ciudad mediana), a dos pisos, y tres casas las convertimos en rascacielos de cuatro alturas (porque cuatro es el doble de dos, la altura de las casas de la segunda fila). Así que, en total, en esta ciudad tenemos 17 bloques.

Por otra parte, como las ciudades han crecido, hace falta más energía. Los cables de electricidad que iban bajo tierra son insuficientes. Hay que llevar electricidad a los edificios: en cada ciudad podemos llevar solo un cable para todos los edificios que estén a la misma altura.

• En la ciudad pequeña sólo hay una altura, sólo llevamos 1 cable.

• En la ciudad mediana hay dos alturas, llevamos 2 cables: para la casa de una altura, y para las casas de dos alturas.

• En la ciudad grande hay tres alturas, llevamos 3 cables: para la casa de una altura, para las casas de dos alturas y para las casas de cuatro alturas.

"Así que, hijo, ya sabes:

• Si quieres hacer una ciudad pequeña, necesitas 1 bloque.
• Si quieres hacer una ciudad mediana, necesitas 5 bloques.
• Si quieres hacer una ciudad grande, necesitas 17 bloques".

EL ORDEN DE LOS SUMANDOS

Creemos que muchas cosas son irreversibles, pero ¿nos hemos parado a pensar sobre ello? La propiedad conmutativa es un ejemplo de reversibilidad, pero ni siquiera se da en todos los objetos matemáticos: no es conmutativo el producto de matrices, por ejemplo.

Porque no sólo de conjuntos vive la aritmética, y porque no todas las operaciones son reversibles, vamos a mostrar la dificultad que entraña asumir algo tan comúnmente aceptado como es la propiedad conmutativa de la adición de números naturales. Son matemáticas elementales, pero requiere especial atención. La magia está en la demostración.

Conceptos primitivos (números naturales)

Hace un siglo el matemático Giuseppe Peano abordó la cuestión del número pensando en estas evidencias o conceptos primitivos:

• Existe un conjunto, que nombramos N, al que llamaremos “conjunto de los números naturales”
• Existe un objeto matemático, que nombramos “1” y llamaremos “uno”
• Existe una relación entre elementos del conjunto N, que nombramos “sig ( )”, que llamaremos “siguiente de”

Para cualquier lector de este post la noción de número natural es conocida o suficientemente intuida. Por otra parte, es bastante sabido, que no se suele incluir al “cero” como un elemento del conjunto N. Sin embargo, es cotidiano el uso del “cero”: es el número que indica que no hay nada en una caja, en una bolsa... De manera, que de ahora en adelante, adoptaremos una segunda consideración de los conceptos primitivos de Giuseppe Peano:

• Existe un conjunto, que nombramos N, al que llamaremos “conjunto de los números naturales”
• Existe un objeto matemático, que nombramos “0” y llamaremos “cero”
• Existe una relación entre elementos del conjunto N, que nombramos “sig ( )”, que llamaremos “siguiente de”

Axiomas de Peano

A partir de estos conceptos primitivos, Peano formula varios axiomas (premisas que se asumen como ciertas) para construir los números naturales. Éstos son los axiomas que enuncia:

I) 0 ∈ N
(“cero” pertenece al conjunto N; “cero” es un número natural)

II) a ∈ N ⇒ sig(a) ∈ N
(El siguiente de cualquier elemento de N pertenece a N)

III) a ∈ N ⇒ sig(a) ≠ 0
(“cero” no es el siguiente elemento de ningún elemento de N)

IV) sig(a) = sig(b) ⇒ a = b
(Si los siguientes de dos elementos son iguales, entonces esos elementos son iguales)

V) Axioma de inducción completa, dice así:

Sea A ⊂ N, tal que: 

(Cualquier subconjunto A incluido en N que contenga al "cero", y donde se verifique que, por tener un elemento, tiene a su siguiente, es el mismo N; tiene a todos los números naturales)

Una operación en el conjunto de los números naturales: la adición

A partir de los axiomas establecidos por Peano, se demuestra el teorema de la existencia de la adición de números naturales (y, si se quiere, de la unicidad de la suma):

Existe en N una operación binaria interna, llamada “adición”, y denotada con “+”,

+: N x N → N

    (a , b) → a + b, ∀ a, b ∈ N, tal que se cumple:

1) a + 0 = a                           (En adelante lo denotaremos así: 1^a “+”)

2) a + sig(b) = sig(a+b)       (En adelante lo denotaremos así: 2^a “+”)

Al elemento imagen de esta operación, a + b, se le denomina “suma de a más b” o “suma de a y b”. Y tanto a como b se denominan sumandos.

Cuando sumamos, pueden surgir varias cuestiones, como por ejemplo:

• ¿Cómo sumamos cuando tenemos más de dos sumandos?
• ¿En qué orden sumamos?
• ...

La soluciones a esas preguntas vienen orientadas por las propiedades de la adición de números naturales, o, como se suele expresar, las propiedades (N, +).

Antes de centrarnos en el propósito específico de este post, vamos a enunciar una primera propiedad y pasaremos a demostrarla con el bagaje que contamos: los axiomas de Peano y la definición de la operación adición. A su vez, esta propiedad, también nos permitirá demostrar ese propósito específico que pasa por la propiedad conmutativa de la adición en N. Pero antes, vayamos a una propiedad más trivial:

>Propiedad asociativa (N, +):  (En adelante lo denotaremos así: Asoc "+")

∀ a, b, c ∈ N, se verifica: (a + b) + c = a + (b + c)

Demostración (por inducción completa, axioma V)
i) c = 0
  (a + b) + c = (a + b) + 0 = a + b = a + (b +0) = a + (b + c), c = 0 ┃
                                       1ª "+"          1ª "+"

ii) c = c1 
                                            ?
   (a + b) + c1 = a + (b + c1) ⇒ (a + b) + sig(c1) = a + (b + sig(c1))
             Hipótesis                                        Tesis
  Suponiendo cierta la hipótesis, verifiquemos si es cierta la tesis. Tomemos un término de la igualdad:
(a + b) + sig(c1) = sig[(a + b) +c1 ] = sig[a + (b + c1)] = a + sig(b + c1) =
                         2ª "+"                          hipótesis                         2ª "+"                             2ª "+"                  
                          = a + (b + sig(c1)) ┃
                                 2ª "+"

iii) En virtud del axioma de inducción, como se cumplen i) y ii), queda demostrada la propiedad asociativa de la adición para cualesquiera números naturales:

∀ a, b, c ∈ N, se verifica: (a + b) + c = a + (b + c)           (c.q.d.)

>Propiedad conmutativa (N, +)
Su enunciado es bien sencillo:
∀ a, b ∈ N, se verifica: a + b = b + a
Demostración (por inducción completa, axioma V)

i) ¿ a + 0 = 0 + a   ∀ a ∈ N ?

   A. 0 + 0 = 0 = 0 + 0, porque la suma es única y el cero es único (trivial).
            a     b  1ª "+"   b     a
   
   Veamos para b = 0:
   a + b = a + 0 = a , pero no sé cómo es 0 + a. Así que conjeturo que a1 + 0 = 0 + a1.
                       1ª "+"
   Entonces:              ?
   B. a1 + 0 = 0 + a1 ⇒  sig(a1) + 0 = 0 + sig(a1)
             Hipótesis                                Tesis
   Verificamos si es cierta la tesis:
   0 + sig(a1) = sig(0 + a1) = sig(a1 + 0) = sig(a1) = sig(a1) + 0  ┃
                   2ª "+"           hipótesis                1ª "+"             1ª "+"

   C. De A. y B. se demuestra:

a + 0 = 0 + a   ∀ a ∈ N (1er paso de la inducción, c.q.d.)

     OBSERVACIÓN: Obsérvese que en el paso B. hemos hecho la inducción sobre a1:

a1 + 0 = 0 + a1 ⇒  sig(a1) + 0 = 0 + sig(a1)           (I)

     Pero no sobre 0 ("cero"):

                                                         ?

a + 0 = 0 + a ⇒ a + sig(0) = sig(0) + a          (II)

                                                                        
     Podría parecer a simple vista que ambas implicaciones son equivalentes ((I) ⇔ (II)).
     Pero esto no es trivial; sólo se puede demostrar verificando la Tesis de (II).
     

     Demostración de la Tesis de (II) (¿ ∀ a ∈ N, a + sig(0) = sig(0) + a ?)

     (Siguiendo el axioma de inducción: primero para a = 0, y después para a = a1)
     (1) a = 0
        sig(0) + 0 = sig(0)  0
                       1ª "+"  
        Como sig(0) es un valor particular de n y en el subapartado C. hemos demostrado:
        ∀ n ∈ N, n + 0 = 0 + n, queda demostrado:

sig(0) + 0 = 0 + sig(0)  ┃

     (2) a = a1

?

      sig(0) + a1 = a1 + sig(0) ⇒ sig(0) + sig(a1) = sig(a1) + sig(0)

Hipótesis                                   Tesis

        Asumiendo cierta la hipótesis, verifiquemos la certeza de la tesis:

        sig(0) + sig(a1) = sig(0) + sig(a1 + 0) = sig(0) + [a1 + sig(0)] =

                              1ª "+"                            2ª "+"                             Asoc "+"    

                                = [sig(0) + a1] + sig(0) = [a1 + sig(0)] + sig(0) =

                           Asoc "+"                           hipótesis                           2ª "+"

                                = sig(a1 + 0) + sig(0) = sig(a1) + sig(0)  ┃

                               2ª "+"                          1ª "+"

     (3) De (1) y (2) se sigue (en virtud del axioma de inducción) que:

∀ a ∈ N, a + sig(0) = sig(0) + a          (α)

(c.q.d.)

     Como veremos en el siguiente paso, ha sido imprescindible demostrar (α).

ii) b = b1.
Para no perdernos, en i) demostramos que se cumple la propiedad conmutativa para el 0. Continuamos con la demostración de la propiedad conmutativa en (N, +) y vamos a la segunda premisa del axioma de inducción. Suponiendo cierto a + b1 = b1 + a (hipótesis), deberemos demostrar que se verifica: a + sig(b1)= sig(b1) + a (tesis); es decir:

                                                                  ?

a + b1 = b1 + a ⇒ a + sig(b1)= sig(b1) + a

Hipótesis                      Tesis

a + sig(b1) = sig(a + b1) = sig(b1 + a) = b1 + sig(a) = b1 + sig(a + 0) =
                 2ª "+"             hipótesis           2ª "+"             1ª "+"                  2ª "+"

                 = b1 + [a + sig(0)] = b1 + [sig(0) + a] = [b1 + sig(0)] + a =
                 2ª "+"                       ()                       Asoc "+"                 2ª "+"

                 = sig(b1 + 0) + a = sig(b1) + a  ┃
                 2ª "+"                   1ª "+" 



iii) De i) y de ii), por el axioma de inducción, se sigue que:

∀ a, b ∈ N, se verifica: a + b = b + a         (c. q. d.)

Moraleja de este post: Cuando os encontréis con un niño que suma 1 + 3 y luego vuelve a sumar 3 +1 con sus dedos, tratad de comprenderle; está experimentando para aprender a sumar. La generalización de la propiedad conmutativa de la adición de números (incluso los complejos) acabará aceptándola al cabo de los años.


NOTA para el lector tiquismiquis: Es más fácil una demostración de la propiedad conmutativa de la adición en N partiendo de la noción de cardinal de un conjunto, pero hay que partir, a su vez, de la conmutatividad de la unión de conjuntos, que, a su vez...