Caracol decena

La curiosidad del niño y de la niña de cuatro y cinco años hacia los números se manifiesta de muchas maneras. No es extraño escucharles «veinte ciento mil» o «cuatro doscientos millones» refiriéndose a la cantidad de juguetes que tienen en casa. Intuyen que los números les ayudan a cuantificar e incluso a exagerar. O aun a fanfarronear, llegado el caso. Pero, usualmente, ellos se quedaron en los símbolos numéricos del uno al nueve, o del cero al nueve. Es decir, en algún momento escolar empezaron a casar su número expresado en palabra oral con su número escrito (o guarismo). Mientras, han ido manejando esa noción de número de forma operativa: para comparar colecciones, para contar elementos, para ordenar elementos... Sin embargo, la curiosidad por los números (naturales) que van más allá del diez no acaba de ser satisfecha cuando los maestros empezamos a mencionarles el día del mes en la fecha o el número de alumnos y alumnas en clase.

Así que, por un lado, han escuchado que hay números enormes (cincuenta mil, ciento setenta y dos millones novecientos cuarenta y siete mil ochocientos treinta y dos...), y, por otro lado, les decimos que hay otros números no tan grandes, pero que van más allá del diez (veintinueve de abril, doce niñas y trece niños...). Estos últimos son capaces de memorizarlos, pero no aún de interpretarlos. No obstante, todavía hay tiempo para que, antes, pasen por procesos que les ayudarán a comprender cómo se llega a esos números: habrán tenido que hacer colecciones de diez en diez, habrán tenido que descomponer colecciones de diez en diferentes sumandos…

En el último nivel de Educación Infantil, generalmente a final de curso (alrededor de los seis años de edad), cuando ya han adquirido cierta soltura con el conteo transitivo e intransitivo, ascendente y descendente, y con cierta familiaridad en las operaciones de adición y sustracción, muchos de nuestros alumnos ya están deseando una explicación convincente de por qué escribimos los números como los escribimos. Y se la damos, entre otras formas, mediante un «cuadrado mágico». Este:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99

Esta presentación a lo bruto de nada menos que cien números suele resultarles apabullante si no se han seguido los pasos previos indicados y algunos más: manejo de material específico (ábacos, regletas...) y genérico (recipientes para almacenar colecciones en decenas), aprendizaje de la convención de lectura de izquierda a derecha y de arriba abajo... Aspectos esenciales, diríamos, ¿verdad? Por eso, previamente nos habremos limitado a las dos primeras filas:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

Vemos cómo a algunos de ellos se les encienden los ojos cuando al llegar al 16 lo asocian con su expresión oral, «dieciséis». Por eso también es fácil mantener el buen humor cuando el maestro expresa «diecicero», «dieciuno», «diecidós», «diecitrés», «diecicuatro» y «diecicinco» en lugar de «diez», «once», «doce», «trece», «catorce» y «quince». Rápidamente nos corrigen, o lo intentan, puesto que no acaban de tener clara aún la correspondencia guarismo-palabra. Pero, «como son mayores», tarde o temprano caen en la cuenta de otras palabras raras, como los participios irregulares: «roto», no «rompido»; «puesto», no «ponido». U otras formas verbales: «quepo», «sé». No sirve de justificación, pero sí como ejemplos de que en el lenguaje hablado tenemos casos especiales. Así que, normal que pase también con los números, ¿no?

¡Qué importante es comprender lo que se lee en matemáticas! Y por esa misma razón, qué importante es comprender lo que se escucha y lo que se dice. Y, por tanto, qué necesario que los alumnos vayan relacionando lo que van a aprender con lo que ya aprendieron. Incluso con las palabras. Porque resulta que las palabras son secuencias ordenadas de sonidos, y, pasadas al código escrito que van desentrañando en estas edades, mantienen una secuencia de grafemas («letras»): no es lo mismo «vaca» que «cava» (como tampoco son iguales «19» y «91»). Este convencionalismo les entusiasma. Como también les estimula asociar el diez con los dedos de la mano... Especialmente cuando alguno de ellos les explica que ya necesita la otra mano para expresar gestualmente los años que ya ha cumplido (seis). De acuerdo, son asociaciones, pero en verdad les ayudan a retener los aprendizajes que han ido realizando al manejar objetos (quien dice objetos también dice sujetos haciendo una fila, parejas, pequeños equipos...).

Hasta aquí hemos hablado de números y no hemos dejado de hablar de la representación de los números. Porque la representación les facilitará comprender mejor sus propiedades, así como operar con ellos con más fluidez y aplicabilidad en su día a día (lo que redundará en una mejor comprensión de cuanto les rodea, como siempre). Y es que, aunque no quita que aprendan otras representaciones, nuestro sistema de representación posicional decimal no está mal del todo para empezar, ¿no creen?. Una de las oportunidades que surgen es, precisamente, que se nos acaban los símbolos en el «9». Por eso, cuando les presentamos el apabullante cuadrado mágico (aunque sea la escisión rectangular de las dos primeras filas), hacemos teatrillo mostrando enorme preocupación: «¡Buf! ¿Qué hacemos ahora? Después del 9, ¿qué?». Mantenemos la pausa suficiente de tensión, hasta que oímos: «¡Diez!». Y preguntamos: «¿Y cómo se escribe el ‘diez’?». y contestan: «Pues el ‘uno’ y el ‘cero’». Señalamos la casilla del «diez» y notamos cómo redirigen sus ojos hacia la izquierda: «¡Ajá!», exclamamos.

Bueno, el resto de la historia ya lo conocen ustedes. Ese cuadrado mágico puede ser una pequeña casita que acaba convirtiéndose en un rascacielos de hasta diez alturas. Y cuando llegan al noventa y nueve, háganse cargo con qué emoción claman: «¡Cien!».

Pero ¿qué pasa si antes o a la vez les presentamos una curiosa propiedad de un animalito? ¡Ah, los animales! ¡Qué hermosas propiedades portan! Animales que tienen las patas de dos en dos, de cuatro en cuatro, de seis en seis, de ocho en ocho y de diez en diez (y más). De dos en dos, al fin y al cabo. Pero ¿qué hay de aquellos que no tienen patas? Bueno, podemos fijarnos en uno de ellos que, aun sin patas (aunque «dicen que tiene un pie», y no vamos a discutirlo), lleva una casa a cuestas con propiedades extraordinarias. Nos referimos al caracol, naturalmente.

Pero vamos a hacer una pequeña trampa: en lugar de fijarnos en la línea curva a la que más se asemeja la concha, que es la espiral logarítmica, la tomaremos como si fuera una espiral arquimediana. Es decir, es el dibujo que trazaríamos recorriendo una regla girando a celeridad constante; digamos que creciendo según una sucesión aritmética.

Sea un caracol:

Hagámosle una radiografía:

Examinemos su concha:

Quedémonos con la parte en que se repiten los giros y cambiemos a una orientación perpendicular que nos vendrá bien por convenio:

Tracemos cinco segmentos que se corten en el centro de la espiral a 36º (de esta manera habremos dividido el plano en diez partes iguales en torno a una circunferencia):

Y, por fin, empecemos a numerar desde el centro hacia fuera:

Ahora ya podemos observar con detenimiento que, empezando por el «radio» vertical superior, contando el número cero, seguimos contando cada «radio»: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... y ¡10!. ¿Por qué un 1 y un 0? Porque se nos han acabado los «dibujos» (símbolos) en el 9 y tenemos que «comenzar (de) por el cero»... Pero —¡cuidado!— tenemos que anotar la primera vuelta; es decir, indicamos primero el 1 por la primera vuelta y después el 0. Análogamente cuando pasemos del 19 al 20...

Y no es que sea muy diferente de lo que era aquel cuadrado mágico apabullante, pero es una forma más. Y lo interesante es que, aunque usemos algunas triquiñuelas, siempre podemos extraer aprendizajes matemáticos de nuestro entorno. Incluso de un caracol sin patas.