La discusión se zanjó
con una conclusión: “No es trivial”.
Manolito,
de cuatro años, acababa de cuestionarle a su profe
la conveniencia de aprender a comparar colecciones de cosas antes de
aprender a contar cosas. Pero, ¿qué es trivial en esta vida?
Comienzo una entrada de matemáticas elementales. Pero no intuitivas, como muchos creen. Será un post largo, así que, no os perdáis las actualizaciones.
Comienzo una entrada de matemáticas elementales. Pero no intuitivas, como muchos creen. Será un post largo, así que, no os perdáis las actualizaciones.
Si os habéis parado a reflexionar, podemos comparar algunos objetos en función de sus atributos (color, forma, olor...), en función de sus cometidos (para rodar, para pintar...), etcétera. También podemos comparar colecciones analizando sus equivalencias o si una se incluye en otra. Por ejemplo: una bolsa llena de caramelos y una bolsa llena de galletas, que, a su vez, ambas están en la estantería de cosas ricas para comer; se pueden comparar las bolsas para determinar si hay o no la misma cantidad de caramelos y galletas, y se puede discutir si caramelos o galletas son cosas ricas para comer y si, por tanto, pueden estar o no en la misma estantería. Si a estas colecciones las llamamos conjuntos, podríamos establecer unas relaciones formales que expresaríamos así:
Sea
C
el conjunto de los caramelos de la bolsa, simbolizado así:
C
= { “caramelos de
la bolsa” }
Sea
G
el conjunto de las galletas de la bolsa, simbolizado así:
G
= { “galletas de
la bolsa” }
Y
sea R
el conjunto de las cosas ricas para comer de la estantería,
simbolizado así:
R
= { “cosas ricas para comer de
la estantería” }
¿Cómo podemos
respondernos a la preguntas sobre la cantidad de objetos en una u
otra bolsa, o acerca de colocarlos o no en la estantería?
Vayamos a la primera
cuestión: comparar la cantidad de caramelos y la cantidad de
galletas. Si no queremos o no sabemos contar, podemos ir a diversos
métodos más o menos intuitivos: podemos colocar cada bolsa en los
extremos opuestos de una balanza que tengamos a mano o que
improvisemos, pero si creéis que esto es correcto es que habréis
supuesto algo que no es evidente (que un caramelo pesa lo mismo que
una galleta); o bien, podemos emparejar un caramelo con una galleta
hasta vaciar una de las bolsas. Si se vacían a la vez, hay la misma
cantidad de caramelos y galletas.
Como
estaréis pensando, para esto no ha sido necesario contar caramelos
ni galletas. Ha bastado con hacer corresponder caramelo-galleta.
Para
ello, por tanto, hemos establecido una correspondencia
uno-a-uno.
Pero, fijaos, ¿habremos tenido que determinar antes si un caramelo
era un caramelo y una galleta era una galleta? Sí, pues, de
no hacerlo así,
cometeríamos un error (imaginaos que confundimos un caramelo con una
piedra que se nos ha colado en la bolsa). Si, de forma general,
llamamos elementos
a cada uno de los objetos de las bolsas de los conjuntos determinados
antes, C,
G
y R,
habría que determinar qué elementos “están dentro” de esos
conjuntos, y hablaríamos de una relación
de pertenencia
de un elemento a un conjunto dado.
Abramos
la bolsa de los caramelos. Nos encontramos con las siguientes cosas:
un
Sugus
de piña, un
caramelo
de fresa, un
caramelo
de menta, un
Chupa-Chups
de naranja y
una gominola de plátano. Si aceptamos que todos son caramelos, que
cumplen con similitudes perceptibles que no nos distraen la atención
de un elemento sobre los otros -vamos, que apenas tenemos
preferencias-, podemos determinar el conjunto C expresándolo así:
Sea
C
el conjunto formado por: un Sugus
de piña, un
caramelo
de fresa, un
caramelo
de menta, un
Chupa-Chups
de naranja y
una gominola de plátano. Lo simbolizamos así:
C
= { Sugus
de piña, caramelo de fresa, caramelo de menta, Chupa-Chups de
naranja, gominola
de plátano }
De forma análoga:
Sea
G
el conjunto formado por: una galleta rellena de chocolate, una
galleta maría, una pasta de té y un bizcocho de soletilla. Lo
simbolizamos así:
G = { galleta rellena de
chocolate, galleta maría, pasta de té, bizcocho de soletilla }
Si ya nos hemos abstraído
de forma suficiente, a todos los elementos de C los consideraremos
como caramelos, y a todos los elementos de G, como galletas. Así,
podremos determinar los conjuntos de dos maneras:
- Citando una propiedad fundamental y común en todos y cada uno de los elementos del conjunto (determinación de un conjunto por comprensión)
- Enumerando todos y cada uno de los elementos del conjunto (determinación de un conjunto por extensión)
Como veis, en ocasiones,
incluso tan simples como la descrita, es complicado determinar
un conjunto, sobre todo si sus elementos no atienden a conceptos
formales (triángulo, número primo, grupo abeliano...).
Pero sigamos con nuestros
conjuntos. Una vez aceptados todos y cada uno de los elementos de los
conjuntos C y G, ya podremos relacionarlos. Podemos
verlo así:
O así:
No importa, porque si,
como pensamos, todos son caramelos y todos son galletas, podríamos
verlo así:
Suficiente, vemos que
estos conjuntos no parecen iguales en cantidad; hay un caramelo al
que no le corresponde ninguna galleta. ¿Y los números?
Como sospecharéis,
la cuestión sobre la inclusión, la de establecer si las
bolsas pueden estar en la estantería de las cosas ricas, puede
resultar igual de complicada en el momento en que haya un solo
elemento de los caramelos o de las galletas que no “esté rico”.
Por hacerlo fácil, todas las galletas y todos los caramelos están
ricos. Así que, vale, estas bolsas pueden estar en la estantería;
es decir, los conjuntos C y G están incluidos
en el conjunto R, y lo podemos representar así:
Bien,
hasta ahora hemos introducido de manera somera dos de los retos con
los que nos encontramos cuando aprendemos la idea de número. El
número, concepto que, como es obvio, viene asociado con la idea de
varias cosas, de colecciones, etcétera, desde su creación (por los
humanos, por supuesto), desde el origen de los tiempos. Pero pensemos
también en lo siguiente: metamos un “caramelo” en una bolsita,
y, a su vez, con otro “caramelo”, ambos en una bolsita algo
mayor... (como las matrioskas rusas):
La
bolsita de la izquierda metida en la siguiente, y esta en la
siguiente, y en la siguiente, y en la siguiente... A partir de la
bolsa que tiene un caramelo cada bolsa puede estar metida en una
siguiente. Parece que esto
nos da cierta información sobre la idea de número: después de uno,
viene otro, y luego otro, y otro... O lo hacemos a la inversa, hacia
atrás, hasta llegar a un elemento. O a ninguno:
Una bolsa vacía (de caramelos, claro, porque tiene aire). El conjunto vacío.
Una
cuestión que no resulta baladí en la didáctica de las matemáticas
es la secuencia de desarrollo y de aprendizaje del niño, y por tanto
de cómo enseñarle: ¿primero diferenciar cantidades y luego el
orden de los números? Si nos encontramos con dos conjuntos que
tienen el mismo número de elementos, es porque, y solo por eso, se
puede hacer corresponder cada elemento de un conjunto con un elemento
(y solo uno) del otro conjunto; se dice que ambos conjuntos son
coordinables, y tienen el
mismo cardinal. Por
ejemplo, si nos comemos un
caramelo, ambos bolsas (conjunto C y G) tienen el mismo número de
elementos, son coordinables:
He
aquí una propiedad de las colecciones.
Pero,
¿qué valor le damos a esa propiedad llamada número? Para el color
tenemos: rojo, naranja...; para el tamaño, grande, pequeño... ¿Para
el número: ninguno, uno, varios?
Parece,
pues, que existen semejanzas entre conjuntos y que las diferencias
entre conjuntos pueden variar en cuestión de un solo elemento.
Podemos dar valores a cada par de conjuntos coordinables. Pero
tendremos que saber cuáles son esos valores, ¿no? Bien, para eso es
necesario un sistema de numeración. El niño pequeño aprende
antes algunos valores del sistema de numeración decimal, pero sin
significado, que la relación de coordinabilidad entre conjuntos,
salvo para pequeñas colecciones. A no ser que se tenga en cuenta que
es capaz de discriminar conjuntos de un elemento de los conjuntos de
varios elementos (que ya es un principio).
Pero, en referencia a meter (inclusión) un conjunto dentro de otro, apreciamos que parece existir cierta jerarquía, por llamarlo de una manera gráfica.
UN
AXIOMA DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS (Zermelo)
Podríamos
intuir que un conjunto pertenece a otro conjunto, pero
cometeríamos un error elemental: un conjunto no es un elemento,
salvo que sea “miembro” de un conjunto de conjuntos. Pensad, por
ejemplo, en lo siguiente: “El conjunto de diputados del Congreso no
es un diputado; no pertenece a sí mismo”. El conjunto de diputados
del Congreso no es un elemento del conjunto de diputados del
Congreso. Podríamos decir que se incluye, pero no que
pertenece.
Esta
aclaración formal es necesaria para deshacer la ambigüedad de
nuestro lenguaje cotidiano. Matemáticamente, restringimos la noción
de pertenencia a la relación de los elementos de los
conjuntos, y la noción de inclusión, a la relación
entre conjuntos.
Desde
luego que podemos hacer conjuntos de conjuntos, como mostramos en
párrafos anteriores (las bolsa C, de caramelos, y la bolsa G,
de galletas, estaban incluidas en la estantería de cosas ricas R,
pero -¡ojo!- no pertenecían a R;
sus elementos, sí -pensad sobre esto-).
Es
necesario precisar que las colecciones que percibimos alrededor
suelen ser finitas (no infinitas, porque son cantidades limitadas;
otra cosa sería contar las estrellas del cielo, pero no nos
dedicamos a eso cotidianamente). Sin esta precisión, llegaríamos a
la paradoja de Russell:
“Un
conjunto pertenece a sí mismo si, y solo si, no pertenece a sí
mismo”.
Lo
que nos lleva a afirmar lo siguiente:
“No existe el conjunto de
todos los conjuntos”.
(Si
existiera, también tendría a los conjuntos infinitos, y, por tanto,
también pertenecería a sí mismo. Pero, al contenerse a sí mismo,
ya habría otro conjunto al que pertenecería y no sería el conjunto
de todos los conjuntos).
Esta
paradoja se salva con el denominado axioma de regularidad de la
Teoría de Conjuntos (Zermelo y Fraenkel):
“Ningún
conjunto es elemento de sí mismo”
Y
como tal axioma, es un enunciado que se tiene por cierto. Si
esta imposición os desasosiega, os ayudará recordar que una de la
formas de determinación de un conjunto (ojo, no definición) es la
determinación por extensión; es decir, enumerando sus elementos,
que es como decir cuáles son los elementos que pertenecen al
conjunto. Podéis verlo así: la relación de pertenencia forma parte
de la determinación de un conjunto, al fijar cuáles son sus
elementos.
EQUIVALENCIA
ENTRE CONJUNTOS
Si
nos paramos a reflexionar, esa “afinidad” entre colecciones de
cosas, o entre conjuntos -por seguir con la terminología matemática
que hemos ido introduciendo-, nos da idea de que un pie podría valer
como una mano para por tener el mismo número de dedos. O las notas
musicales con los días de la semana, o las orejas con los ojos... La
“cualidad” que los clasifica es la cantidad de elementos que
tiene cada conjunto. De la misma forma, podríamos imaginar
colecciones vacías, que no tienen ningún elemento: partes del
cuerpo humano que tiene plumas, días de la semana que comienzan por
“x” (el miércoles no vale)...
La
característica común de todos los conjuntos con la misma “cantidad”
de elementos se denomina cardinal: hay un cardinal para
los conjuntos representados con nubes, lunas y corazones; otro
cardinal para los conjuntos representados con triángulo, cuadrado y
pentágono; y el cardinal del conjunto vacío.
Cuando
añadimos esa característica a la denominación de un conjunto, le
estamos adjudicando la cualidad llamada número (ATENCIÓN: Nótese
la estrecha relación entre cantidad y cualidad al referirnos a
conjuntos). Hay conjuntos negros de jazz, hay conjuntos blancos de
fútbol, hay conjuntos malolientes de bolsas de basura, hay conjuntos
apilados de palés... Y hay conjuntos con otra “calificación”
que atiende a la cantidad de elementos: de “cero” elementos, de
“un” elementos, de “dos” elementos... de “mil quinientos
millones cincuenta y ocho mil cuatrocientos noventa y siete”
elementos...
CLASES
DE EQUIVALENCIA
Los
conjuntos “encerrados” en el trazo rojo del dibujo son
equivalentes en número, y por eso en matemáticas se denominan
clases de equivalencia a cada conjunto de conjuntos que
son equivalentes. Pues bien, para precisar más, se acepta la
siguiente definición de Fregue:
“Llamamos
cardinal de un conjunto A a la clase de equivalencia
de
todos los conjuntos coordinables con A”
Debemos
observar que:
- Ninguna clase de equivalencia es vacía
- Las clases de equivalencia no tienen elementos comunes entre sí
- La unión de todas las clases es el conjunto de todos los conjuntos finitos
Que
no es en absoluto trivial, pero, para no salirnos de nuestros
propósitos, apelo a la intuición y a la confianza del lector para
que lo acepte.
En
compensación, quiero que os detengáis a pensar en la primera
propiedad: “ninguna clase de equivalencia es vacía”, y volváis
a mirar la clase de equivalencia que contiene al conjunto vacío -sí,
lo contiene; el conjunto vacío es un [el] elemento de la clase de
equivalencia del conjunto vacío-. En realidad, pensad que la clase
de equivalencia del conjunto vacío es un conjunto:
¡Y
tiene un elemento: el conjunto vacío!
Por
eso, es coordinable (es numéricamente equivalente) con estos
conjuntos:
Y,
podemos representarlo dentro de la misma clase de equivalencia:
¿O
no?
EL
CONJUNTO VACÍO Y EL CONJUNTO DE TODOS LOS CONJUNTOS (FINITOS)
Hasta
ahora he ido representando algunos “objetos” matemáticos de
manera informal. Sin embargo, y sin ánimo de formalizar (todavía),
es necesario introducir un símbolo que facilitará la explicación.
Vamos a manejar el símbolo para representar el conjunto vacío así:
Ø (podéis
imaginar el símbolo de una “bolsa” -conjunto- al que hemos
tachado).
Entonces el dibujo anterior lo podemos representar así:
Es
decir, el conjunto Ø no
tiene elementos, pero el conjunto:
No
está vacío, ya que tiene un elemento: el conjunto vacío.
(Recordad
que se pueden hacer conjuntos de conjuntos, y que solo así un
conjunto “pertenece” a otro conjunto; pero -¡ojo!- ese conjunto
es un elemento porque estamos dando una determinación del conjunto
al que pertenece por comprensión que “especifica”: conjunto de
conjuntos. Es como un metalenguaje, como si habláramos de palabras
que son sustantivos, en lugar de referirnos a nombres de cosas que se
comen)
Vamos
a ver “de qué está hecho” el conjunto de todos los
conjuntos -insisto, conjuntos finitos-, que vamos a denominar F.
Para
empezar, estaréis conmigo en que el conjunto vacío, Ø,
pertenece al conjunto de todos los conjuntos, F;
es decir, el conjunto sin ningún elemento pertenece a F.
Vale, ¿qué más? También pertenecerán a F todos los
conjuntos con un solo elemento, ¿no? Así sucesivamente añadiendo
un elemento, otro elemento, otro elemento... (sin fin; bueno, nadie
dijo que el conjunto de todos los conjuntos finitos no fuera
infinito). Aparentemente, no estoy añadiendo mucha novedad, pues, si
recordáis la tercera propiedad de las clases de equivalencia, la
unión de todas las clases nos da el conjunto de todos los conjuntos.
Pero sí hay una novedad en esta descripción: la diferenciación
entre clases según tengan un elemento más (o menos, o ninguno). Así
que, si os parece, vamos a escoger uno solo de los conjuntos de cada
clase de equivalencia; o sea, a un representante de cada clase.
Para
la clase del conjunto vacío, solo tenemos al conjunto vacío, Ø,
sin elementos.
Para
la clase de conjuntos con un elemento, podemos tomar el conjunto que
contiene al conjunto vacío:
Para
la clase de conjuntos con dos -¡ups!- elementos, el conjunto que
contiene al conjunto vacío y al conjunto que contiene al conjunto
que contiene al conjunto vacío:
Y
así, sucesivamente. Es decir, podríamos ir “construyendo” un
equivalente al conjunto de todos los conjuntos así:
...
CONJUNTO
DE LOS NÚMEROS NATURALES: CARDINAL Y COORDINABILIDAD
Estos
conjuntos (formados con representantes de clases de equivalencia) son
coordinables con los conjuntos del mismo número de elementos, y,
volviendo a la definición de cardinal, cada uno de estos conjuntos
tiene el mismo cardinal que toda la clase de equivalencia que
representa.
Pues
bien, sin entrar en formalismos, todos los cardinales de las
clases de equivalencia del conjunto de todos los conjuntos
constituyen el denominado conjunto de los números
naturales, que representamos
como ℕ.
Ahora
bien, la denominación de cada uno de los elementos de ℕ,
cada número natural, depende de un convenio.
Siguiendo con nuestra economía de medios, vamos a fijarnos de nuevo
en lo que tenemos hasta ahora.
Tenemos
la idea de cardinal de un conjunto. A partir de ahora, nombraremos al
cardinal de un conjunto A, como card A. Y vamos recurrir a dos
guarismos conocidos por todos para el cardinal del conjunto vacío y
para el cardinal de los conjuntos de un elemento. Esos
guarismos representan gráficamente los números que llamamos “cero”
y “uno”, respectivamente. Si tomamos a cada representante de la
clase de equivalencia que representamos arriba, podemos expresar lo
siguiente:
card
Ø =
0, número “cero”
card
{Ø}
= 1, número “uno”
Donde
el conjunto {Ø}
es lo que habíamos representado así:
En
fin, que volvemos a la notación de las llaves ({}).
NOCIONES
SOBRE LA REPRESENTACIÓN NUMÉRICA
Ya
tenemos 0 y 1 como símbolos (guarismos) de dos -¡ups!- números.
Pero vemos que, añadiendo
un elemento más, vamos teniendo nuevos conjuntos, nuevos cardinales,
y nuevos números, por tanto. Quizá nos sirva con esos dos símbolos.
Imaginemos el significado de lo siguiente:
card
Ø =
0
card
{Ø}
= 1
card
{{Ø},Ø}
= 10
card
{{{Ø},Ø},Ø}
= 100
card
{{{{Ø},Ø},Ø},Ø}
= 1000
card
{{{{{Ø},Ø},Ø},Ø},Ø}
= 10000
card
{{{{{{Ø},Ø},Ø},Ø},Ø},Ø}
= 100000
…
¿No
habría una manera de hacerlo menos voluminoso? Sí, porque, al fin y
al cabo, de esa manera, no estaríamos avanzando nada en la
simbolización; cada cifra
simboliza un elemento y poco más, nos habría dado lo mismo llamarlo
1, 0,
♣
ó €.
Los
matemáticos, que son personas muy perspicaces,
pensaron en lo siguiente: como
solo tenemos dos símbolos, cada vez que añadamos un elemento,
pasaremos de un guarismo al siguiente. Pero, para distinguirlo de
número anterior, le haremos cambiar de posición. Veamos cómo:
card
Ø =
0, está claro por convenio.
Añado
un elemento:
card
{Ø}
= 1, está claro por
convenio. Añado
un elemento:
Para
el card {{Ø},Ø}
tengo
que añadir una posición más y mantengo el 1;
convengo en añadir esa posición a la derecha del 1
y ahí dibujar el 0:
card
{{Ø},Ø}
=
10.
Añado
un elemento:
Para
el card {{{Ø},Ø},Ø}
no tengo que añadir una
posición más; mantengo la posición a la derecha del primer 1
y ahí dibujo el siguiente al
0, que es el 1:
card
{{{Ø},Ø},Ø}
= 11. Añado un elemento:
Para
el card
{{{{Ø},Ø},Ø},Ø}
tengo
que añadir una posición más de
nuevo y mantener lo anterior, 1;
a
su derecha dibujo
el 0,
como indicador de que comienzo ya con tres -¡ups!- cifras:
card
{{{{Ø},Ø},Ø},Ø}
= 100.
Etcétera.
Bueno,
podemos disponer de más símbolos, como por ejemplo: 0,
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9.
