Triángulos que generan espacios vectoriales

Asociados a los espacios vectoriales encontramos matrices que pueden representar bases. La traza o el determinante de una matriz son números que caracterizan a esa matriz, pero no solo a esa. En este post se presentará una relación no de los elementos de un cuerpo algebraico, sino de los números naturales que pueden determinar una forma de bases en espacios vectoriales.

Triángulo de Sierpinski (fuente)

(Antes de comenzar: tenéis la opción de echar un vistazo al ANEXO -al final del artículo, después del dibujo de una tarta de cumpleaños-, donde trazo una explicación de andar por casa -o por casas- con un modelo muy sencillito hasta la dimensión 3)

Muchos de vosotros conocéis los números triangulares:

  1 + 2 =  3

  3 + 3 =  6

  6 + 4 = 10

10 + 5 = 15

...



Los cuatro primeros son los que se muestran en rojo (el número triangular siguiente a 10 es 15). Como veis, cada número triangular "cuenta" los guarismos que van ocupando un triángulo. 

También lo podemos representar así (debajo de cada triángulo se indica el número triangular en rojo, que es la suma de "unos" de ese triángulo):

Estos números naturales siguen una sucesión cuyo término general es:

Supongamos ahora más triángulos, pero con otros valores. Como estos:

En los que también se suma el interior (como en los triángulos de unos) y se indica en color rojo. Esas sumas siguen una sucesión con este término general:

Hemos sustituido cada "1" por una potencia de "2", avanzando en un grado el exponente en cada fila.

Gráficamente se podría ver algo así:

De manera que empezamos por 2º y seguimos añadiéndole filas a la secuencia triangular, que se expande, pero mucho menos de como lo hace el "tamaño" de los elementos en filas sucesivas:

Estiremos los triángulos hasta hacerlos triángulos rectángulos y rectifiquemos la rotación que habíamos hecho, hasta poner uno de sus catetos en vertical:

Y pensemos en lo siguiente (descomposición polinómica de un número, según el sistema de numeración posicional, en este caso en base dos o binaria):

Que es equivalente a esto otro (en este enlace tenéis un conversor de base numérica):

Los numerales de los números binarios de cada fila son los coeficientes del desarrollo polinómico de cada igualdad, que lo podemos expresar como matrices:

Cada fila de cada matriz se puede considerar respectivamente un vector de:

Espacios vectoriales de dimensión 1, 2, 3 y 4 respectivamente, e isomorfos a los espacios vectoriales de los polinomios de grado 0, 1, 2 y 3 (de dimensión 1, 2, 3 y 4, por tanto). Todas las filas de cada matriz son vectores linealmente independientes y, además, su cardinal (que coincide con el rango de cada matriz) es igual a la dimensión de cada uno de los espacios vectoriales referidos. De manera que, esos vectores filas son bases de cada espacio vectorial:

Cada una de estas bases está determinada por un número natural y solo uno (existe ese número natural y es único) obtenido de la suma de los polinomios generados por los vectores de cada base en su descomposición polinómica en la base usual (o canónica):

(Obsérvese que el cardinal de cifras de un número en sistema binario es igual a la dimensión del espacio vectorial de los polinomios que lo descompone. Pero, atención, sucede en cualquier base de numeración. Por ejemplo: 49 en base 10 tiene dos cifras y se descompone solo en suma de dos monomios en base 10: 4 x 10 + 9 x 1)

Se puede demostrar por inducción el siguiente resultado general:

Obsérvese que el crecimiento rápido (exponencial) de estos números viene determinada por la descomposición en potencias de dos (que es como se descompone el número en base binaria). Por eso motivo media un abismo entre números cada vez mayores relacionados con esas bases. Pero, con todo, siguen siendo ℵ0, como es natural ☺

Se pueden encontrar más resultados acerca de esta sucesión (A000337) en este enlace.

No lo habéis preguntado, pero aquí tenéis la relación recursiva entre esta sucesión y la de lo números triangulares:

Ese "retardo" en tres elementos parece coherente si lo comparáis con el retardo que se produce entre las filas diagonales de números triangulares y las sumas de las filas (sumas de los binomiales) del triángulo de Pascal.


Por último, para acabar, dedico este post a mi hijo, que pasado mañana cumplirá 3 años (como tres lados, tres vértices, tres ángulos... tiene el triángulo).

¡Feliz cumpleaños, hijo!

ANEXO I: Aquí tenéis la segunda parte en forma de reto: Números naturales "linealmente independientes"


ANEXO II: Triángulos que generan espacios vectoriales explicado para mi hijo de tres años

Este anexo se lo debo a Tito EIiatron, quien me sugirió que tratara de explicar lo anterior a mi hijo de tres años. Y así lo haré, pero se lo explicaré dentro de dos años, cuando cumpla cinco.

Vamos a jugar a hacer ciudades con los bloques de contrucción. Esas ciudades han de tener forma de triángulo. Veamos cómo se construyen:

• Una ciudad pequeña con una sola casa: 1 bloque

• Añadimos dos casas más y tenemos una ciudad mediana con tres casas: 3 bloques

• Añadimos tres casas más y tenemos una ciudad grande con seis casas: 6 bloques

Pero a esas ciudades va más gente, mucha más cuanto mayor es la ciudad. Por eso tenemos que hacer las casas más altas. Con una condición: todas las casas que están en la misma fila crecen el doble que la anterior (todas las casas de una fila tienen que estar a la misma altura):

• En la ciudad pequeña apenas va gente, así que la casa se queda como está: 1 bloque

• En la ciudad mediana tenemos que subir la altura de dos casas, un piso de altura más a cada una, para ser el doble de altas que la primera casa. Para cada piso utilizamos un bloque. Así que, en total, en esta ciudad tenemos 5 bloques.

• En la ciudad grande subimos la altura de dos casas (como en la ciudad mediana), a dos pisos, y tres casas las convertimos en rascacielos de cuatro alturas (porque cuatro es el doble de dos, la altura de las casas de la segunda fila). Así que, en total, en esta ciudad tenemos 17 bloques.

Por otra parte, como las ciudades han crecido, hace falta más energía. Los cables de electricidad que iban bajo tierra son insuficientes. Hay que llevar electricidad a los edificios: en cada ciudad podemos llevar solo un cable para todos los edificios que estén a la misma altura.

• En la ciudad pequeña sólo hay una altura, sólo llevamos 1 cable.

• En la ciudad mediana hay dos alturas, llevamos 2 cables: para la casa de una altura, y para las casas de dos alturas.

• En la ciudad grande hay tres alturas, llevamos 3 cables: para la casa de una altura, para las casas de dos alturas y para las casas de cuatro alturas.

"Así que, hijo, ya sabes:

• Si quieres hacer una ciudad pequeña, necesitas 1 bloque.
• Si quieres hacer una ciudad mediana, necesitas 5 bloques.
• Si quieres hacer una ciudad grande, necesitas 17 bloques".