La inducción matemática es deductiva

Desde tiempos inmemoriales la búsqueda de la verdad ha estado en la mente del ser humano. Los caminos para llegar a ella han sido, sin embargo, muy diversos, aunque la razón parezca haber orientado esa búsqueda. En un esquema básico podríamos distinguir dos caminos: partir de la explicación de un fenómeno hasta su generalización a otros, o bien, partir de algo general para explicar fenómenos particulares. En el primer caso hablaríamos de razonamiento inductivo y en el segundo, de razonamiento deductivo.

Fuente

En realidad, nos estamos aprovechando del lenguaje coloquial blandiendo el lenguaje matemático. Habría que distinguir el razonamiento inductivo del principio de inducción matemática. Simplemente: el razonamiento inductivo nos arroja verdad sobre una muestra de datos, que extrapolamos a los datos fuera de la muestra y que presumimos equiparables. Pero no tenemos garantizada la certeza, pues no conocemos todas las variables, que supusimos conocidas. El principio de inducción (se le suele calificar como completa o fuerte) siempre nos lleva a la certeza absoluta, pero -claro- estamos hablando de objetos matemáticos (cien por cien formales). Veamos por qué.

El principio de inducción figura como quinto axioma en la formulación que enunció Giuseppe Peano para determinar la construcción de los números naturales (que, como sabéis, es un conjunto que viene caracterizado así: N . En la matemática actual se suele aceptar al cero como número natural):

I) 0 ∈ N
(“cero” pertenece al conjunto N; “cero” es un número natural)

II) a ∈ N ⇒ sig(a) ∈ N
(El siguiente de cualquier elemento de N pertenece a N)

III) a ∈ N ⇒ sig(a) ≠ 0
(“cero” no es el siguiente elemento de ningún elemento de N)

IV) sig(a) = sig(b) ⇒ a = b
(Si los siguientes de dos elementos son iguales, entonces esos elementos son iguales)

V) Axioma de inducción completa, dice así:

(Cualquier subconjunto A incluido en N que contenga al "cero", y donde se verifique que, por tener un elemento, tiene a su siguiente, es el mismo N; tiene a todos los números naturales)


Antes de meternos en harina, es necesario recalcar que:

«(...) Peano NO quería fundamentar las matemáticas en la Lógica, que para él sólo era una disciplina auxiliar de la matemática»¹.

Y, sin embargo, el sistema axiomático de Peano bebe de otras partes de las matemáticas, como la Teoría de Conjuntos. En su planteamiento se produce una circularidad que Hilbert supuso franqueable, pero que posteriormente Gödel demostró insalvable: La misma consistencia de una teoría matemática es una de las proposiciones que no se pueden demostrar, sino que, simplemente, hay que suponer -"en un acto de fe"-. Pero eso es otro cantar, y a nosotros nos trae la verdad matemática.

Conviene aclarar que Peano presuponía la idea de conjunto. Con ello entendía también que un conjunto queda determinado por comprensión cuando se afirma que todos sus elementos cumplen una propiedad. Por tanto, decir que un elemento pertenece a un conjunto A equivale a afirmar que dicho elemento cumple una propiedad común a los otros elementos de A.

A continuación vamos a describir un proceso didáctico que permita comprender mejor en qué consiste el axioma de inducción y por qué el principio de inducción matemática es un razonamiento deductivo.


1ª FASE: Interpretación del axioma de inducción basándonos en una propiedad P

La interpretación del axioma de inducción podríamos representarla así:

Sea A =  { n ∈ N / P(n) } = { elementos de N que cumplen la propiedad P } , A ⊂ N

2ª FASE: Separando proposiciones (lenguaje proposicional)

Lo anterior quedaría expresado en el lenguaje de la Lógica proposicional de la siguiente forma:

3ª FASE: Ambas premisas han de ser ciertas y se cumple la conclusión

Por eso, en una demostración matemática en que se pueda establecer una relación de sus objetos a demostrar (o propiedades) con los números naturales, hemos de demostrar que tanto la premisa X (se cumple para el "cero", primer elemento de N) como la premisa Y (si se cumple para un número natural cualquiera, se cumple para el siguiente) son ciertas. Si es así, el axioma de inducción nos da la conclusión Z (es decir que se cumple para cualquier número natural la propiedad que queremos demostrar).

Ilustrémoslo con un ejemplo "chorra": ¿Cualquier potencia de dos de un numero natural es mayor que ese número natural? (Es decir, la propiedad que queremos demostrar)

Vamos a por la primera premisa:

4ª FASE: ¡La segunda premisa es un condicional! (Ponendo ponens)

Suele ser esta fase en la que solemos asociar la demostración al principio de inducción, pero debemos recalcar que la anterior (demostrar que el primer elemento de los números naturales cumple la propiedad) es tan importante como ésta; es una premisa que debe ser tan válida como ésta. Pero, sigamos.

La segunda premisa se puede expresar así:

Antes de seguir con el ejemplo, obsérvese que debemos demostrar que se cumple la implicación; o sea, suponiendo cierta la hipótesis, h, (a1 ∈ A), la tesis, t, ((a1 + 1) ∈ A) debe ser cierta. Esto es una regla de Lógica, de acuerdo a los valores de verdad del operador  implicación. Ésta es su tabla de verdad:

Donde se han descartado los valores falsos (v(h) = 0) de la hipótesis h (la suponemos cierta, pues el axioma nos lo exige: a ∈ A). Según esto, la implicación h → t sólo es cierta (v(h → t) = 1) si, y sólo si, la tesis t también es cierta (v(t) = 1). (ESTO ES DEDUCTIVO)

Siguiendo con el ejemplo, la proposición Y la expresamos de esta forma:

Así, pues, hagamos la demostración de esta implicación lógica (y a la vez condicional matemático). "Esto ya vuelve a ser matemáticas":

Sabemos que: 

También sabemos que:

Hagamos uso de otro "sentencia" válida: la hipótesis h, 

Y apliquémosla:

Además, por la premisa X, si 2 elevado a "cero" es igual a uno, podemos afirmar, cuando menos que:

Y, que, por lo tanto:

Juntemos todos los pasos que hemos ido desgranando y la demostración queda expresada así:

(c.q.d)

Espero que el ejemplo haya servido para mostrar en qué consiste el principio de inducción matemática, para verdades matemáticas, insisto.

Por cierto, no creáis que Sherlock Holmes resolvía los crímenes por el principio de inducción; lo hacía por razonamiento inductivo, no sólo deductivo (o quizá ninguno de los dos). Porque, al parecer, queridos amigos, la verdad no es tan elemental, la verdad.

 1 Kline, M (2002, p. 1304): El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, III. Alianza

EL ORDEN DE LOS SUMANDOS

Creemos que muchas cosas son irreversibles, pero ¿nos hemos parado a pensar sobre ello? La propiedad conmutativa es un ejemplo de reversibilidad, pero ni siquiera se da en todos los objetos matemáticos: no es conmutativo el producto de matrices, por ejemplo.

Porque no sólo de conjuntos vive la aritmética, y porque no todas las operaciones son reversibles, vamos a mostrar la dificultad que entraña asumir algo tan comúnmente aceptado como es la propiedad conmutativa de la adición de números naturales. Son matemáticas elementales, pero requiere especial atención. La magia está en la demostración.

Conceptos primitivos (números naturales)

Hace un siglo el matemático Giuseppe Peano abordó la cuestión del número pensando en estas evidencias o conceptos primitivos:

• Existe un conjunto, que nombramos N, al que llamaremos “conjunto de los números naturales”
• Existe un objeto matemático, que nombramos “1” y llamaremos “uno”
• Existe una relación entre elementos del conjunto N, que nombramos “sig ( )”, que llamaremos “siguiente de”

Para cualquier lector de este post la noción de número natural es conocida o suficientemente intuida. Por otra parte, es bastante sabido, que no se suele incluir al “cero” como un elemento del conjunto N. Sin embargo, es cotidiano el uso del “cero”: es el número que indica que no hay nada en una caja, en una bolsa... De manera, que de ahora en adelante, adoptaremos una segunda consideración de los conceptos primitivos de Giuseppe Peano:

• Existe un conjunto, que nombramos N, al que llamaremos “conjunto de los números naturales”
• Existe un objeto matemático, que nombramos “0” y llamaremos “cero”
• Existe una relación entre elementos del conjunto N, que nombramos “sig ( )”, que llamaremos “siguiente de”

Axiomas de Peano

A partir de estos conceptos primitivos, Peano formula varios axiomas (premisas que se asumen como ciertas) para construir los números naturales. Éstos son los axiomas que enuncia:

I) 0 ∈ N
(“cero” pertenece al conjunto N; “cero” es un número natural)

II) a ∈ N ⇒ sig(a) ∈ N
(El siguiente de cualquier elemento de N pertenece a N)

III) a ∈ N ⇒ sig(a) ≠ 0
(“cero” no es el siguiente elemento de ningún elemento de N)

IV) sig(a) = sig(b) ⇒ a = b
(Si los siguientes de dos elementos son iguales, entonces esos elementos son iguales)

V) Axioma de inducción completa, dice así:

Sea A ⊂ N, tal que: 

(Cualquier subconjunto A incluido en N que contenga al "cero", y donde se verifique que, por tener un elemento, tiene a su siguiente, es el mismo N; tiene a todos los números naturales)

Una operación en el conjunto de los números naturales: la adición

A partir de los axiomas establecidos por Peano, se demuestra el teorema de la existencia de la adición de números naturales (y, si se quiere, de la unicidad de la suma):

Existe en N una operación binaria interna, llamada “adición”, y denotada con “+”,

+: N x N → N

    (a , b) → a + b, ∀ a, b ∈ N, tal que se cumple:

1) a + 0 = a                           (En adelante lo denotaremos así: 1^a “+”)

2) a + sig(b) = sig(a+b)       (En adelante lo denotaremos así: 2^a “+”)

Al elemento imagen de esta operación, a + b, se le denomina “suma de a más b” o “suma de a y b”. Y tanto a como b se denominan sumandos.

Cuando sumamos, pueden surgir varias cuestiones, como por ejemplo:

• ¿Cómo sumamos cuando tenemos más de dos sumandos?
• ¿En qué orden sumamos?
• ...

La soluciones a esas preguntas vienen orientadas por las propiedades de la adición de números naturales, o, como se suele expresar, las propiedades (N, +).

Antes de centrarnos en el propósito específico de este post, vamos a enunciar una primera propiedad y pasaremos a demostrarla con el bagaje que contamos: los axiomas de Peano y la definición de la operación adición. A su vez, esta propiedad, también nos permitirá demostrar ese propósito específico que pasa por la propiedad conmutativa de la adición en N. Pero antes, vayamos a una propiedad más trivial:

>Propiedad asociativa (N, +):  (En adelante lo denotaremos así: Asoc "+")

∀ a, b, c ∈ N, se verifica: (a + b) + c = a + (b + c)

Demostración (por inducción completa, axioma V)
i) c = 0
  (a + b) + c = (a + b) + 0 = a + b = a + (b +0) = a + (b + c), c = 0 ┃
                                       1ª "+"          1ª "+"

ii) c = c1 
                                            ?
   (a + b) + c1 = a + (b + c1) ⇒ (a + b) + sig(c1) = a + (b + sig(c1))
             Hipótesis                                        Tesis
  Suponiendo cierta la hipótesis, verifiquemos si es cierta la tesis. Tomemos un término de la igualdad:
(a + b) + sig(c1) = sig[(a + b) +c1 ] = sig[a + (b + c1)] = a + sig(b + c1) =
                         2ª "+"                          hipótesis                         2ª "+"                             2ª "+"                  
                          = a + (b + sig(c1)) ┃
                                 2ª "+"

iii) En virtud del axioma de inducción, como se cumplen i) y ii), queda demostrada la propiedad asociativa de la adición para cualesquiera números naturales:

∀ a, b, c ∈ N, se verifica: (a + b) + c = a + (b + c)           (c.q.d.)

>Propiedad conmutativa (N, +)
Su enunciado es bien sencillo:
∀ a, b ∈ N, se verifica: a + b = b + a
Demostración (por inducción completa, axioma V)

i) ¿ a + 0 = 0 + a   ∀ a ∈ N ?

   A. 0 + 0 = 0 = 0 + 0, porque la suma es única y el cero es único (trivial).
            a     b  1ª "+"   b     a
   
   Veamos para b = 0:
   a + b = a + 0 = a , pero no sé cómo es 0 + a. Así que conjeturo que a1 + 0 = 0 + a1.
                       1ª "+"
   Entonces:              ?
   B. a1 + 0 = 0 + a1 ⇒  sig(a1) + 0 = 0 + sig(a1)
             Hipótesis                                Tesis
   Verificamos si es cierta la tesis:
   0 + sig(a1) = sig(0 + a1) = sig(a1 + 0) = sig(a1) = sig(a1) + 0  ┃
                   2ª "+"           hipótesis                1ª "+"             1ª "+"

   C. De A. y B. se demuestra:

a + 0 = 0 + a   ∀ a ∈ N (1er paso de la inducción, c.q.d.)

     OBSERVACIÓN: Obsérvese que en el paso B. hemos hecho la inducción sobre a1:

a1 + 0 = 0 + a1 ⇒  sig(a1) + 0 = 0 + sig(a1)           (I)

     Pero no sobre 0 ("cero"):

                                                         ?

a + 0 = 0 + a ⇒ a + sig(0) = sig(0) + a          (II)

                                                                        
     Podría parecer a simple vista que ambas implicaciones son equivalentes ((I) ⇔ (II)).
     Pero esto no es trivial; sólo se puede demostrar verificando la Tesis de (II).
     

     Demostración de la Tesis de (II) (¿ ∀ a ∈ N, a + sig(0) = sig(0) + a ?)

     (Siguiendo el axioma de inducción: primero para a = 0, y después para a = a1)
     (1) a = 0
        sig(0) + 0 = sig(0)  0
                       1ª "+"  
        Como sig(0) es un valor particular de n y en el subapartado C. hemos demostrado:
        ∀ n ∈ N, n + 0 = 0 + n, queda demostrado:

sig(0) + 0 = 0 + sig(0)  ┃

     (2) a = a1

?

      sig(0) + a1 = a1 + sig(0) ⇒ sig(0) + sig(a1) = sig(a1) + sig(0)

Hipótesis                                   Tesis

        Asumiendo cierta la hipótesis, verifiquemos la certeza de la tesis:

        sig(0) + sig(a1) = sig(0) + sig(a1 + 0) = sig(0) + [a1 + sig(0)] =

                              1ª "+"                            2ª "+"                             Asoc "+"    

                                = [sig(0) + a1] + sig(0) = [a1 + sig(0)] + sig(0) =

                           Asoc "+"                           hipótesis                           2ª "+"

                                = sig(a1 + 0) + sig(0) = sig(a1) + sig(0)  ┃

                               2ª "+"                          1ª "+"

     (3) De (1) y (2) se sigue (en virtud del axioma de inducción) que:

∀ a ∈ N, a + sig(0) = sig(0) + a          (α)

(c.q.d.)

     Como veremos en el siguiente paso, ha sido imprescindible demostrar (α).

ii) b = b1.
Para no perdernos, en i) demostramos que se cumple la propiedad conmutativa para el 0. Continuamos con la demostración de la propiedad conmutativa en (N, +) y vamos a la segunda premisa del axioma de inducción. Suponiendo cierto a + b1 = b1 + a (hipótesis), deberemos demostrar que se verifica: a + sig(b1)= sig(b1) + a (tesis); es decir:

                                                                  ?

a + b1 = b1 + a ⇒ a + sig(b1)= sig(b1) + a

Hipótesis                      Tesis

a + sig(b1) = sig(a + b1) = sig(b1 + a) = b1 + sig(a) = b1 + sig(a + 0) =
                 2ª "+"             hipótesis           2ª "+"             1ª "+"                  2ª "+"

                 = b1 + [a + sig(0)] = b1 + [sig(0) + a] = [b1 + sig(0)] + a =
                 2ª "+"                       ()                       Asoc "+"                 2ª "+"

                 = sig(b1 + 0) + a = sig(b1) + a  ┃
                 2ª "+"                   1ª "+" 



iii) De i) y de ii), por el axioma de inducción, se sigue que:

∀ a, b ∈ N, se verifica: a + b = b + a         (c. q. d.)

Moraleja de este post: Cuando os encontréis con un niño que suma 1 + 3 y luego vuelve a sumar 3 +1 con sus dedos, tratad de comprenderle; está experimentando para aprender a sumar. La generalización de la propiedad conmutativa de la adición de números (incluso los complejos) acabará aceptándola al cabo de los años.


NOTA para el lector tiquismiquis: Es más fácil una demostración de la propiedad conmutativa de la adición en N partiendo de la noción de cardinal de un conjunto, pero hay que partir, a su vez, de la conmutatividad de la unión de conjuntos, que, a su vez...