Números naturales “linealmente independientes”

A priori el título suena aberrante, pues la dependencia lineal es una propiedad que se atribuye a los elementos de los espacios vectoriales, y el conjunto de los números naturales no es un subespacio vectorial. No obstante, si os atrevéis a jugar con la representación numérica binaria, os lanzo el reto de encontrar en qué condiciones podríamos hablar de números naturales linealmente independientes.

Esta entrada participa en la Edición 5.4 del Carnaval de Matemáticas,

cuyo blog anfitrión es Gaussianos.

En un post anterior presenté una relación entre los números naturales y una forma especial de bases en espacios vectoriales (Triángulos que general espacios vectoriales). Aquello era de aplicación para cualquier espacio vectorial isomorfo a Rⁿ.

En aquel post llegamos a esto:

Dado un n ∈ N, la base de Rⁿ de la forma ordenada:

B_n = {(1,1,...,1,1),

        (1,1,...,1,0),

…

        (1,1,...,0,0),

        (1,0,...,0,0)}

Viene determinado por:

b(n) = 1 + (n-1)•2ⁿ

b(n) ∈ N

Para ejemplificarlo utilicé unas bases muy concretas (escalonadas y ordenadas):

B₁={(1)}⊂R¹

B₂={(1,1), (1,0)}⊂R²

B₃={(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}⊂R³

B₄={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0)}⊂R⁴

Ahora eliminemos algunas restricciones y centrémonos en los componentes de los vectores que las forman:

1

1 1

1 0

1 1 1

1 1 0

1 0 0

1 1 1 1

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 0 0

Cada fila tiene uno, dos, tres o cuatro numerales, que son los coeficientes del desarrollo polinómico de diferentes números naturales en base 2. Esta es su equivalencia en base 10:

1₍₂ = 1₍₁₀

11₍₂ = 3₍₁₀

10₍₂ = 2₍₁₀

111₍₂ = 7₍₁₀

110₍₂ = 6₍₁₀

100₍₂ = 4₍₁₀

1111₍₂ = 15₍₁₀

1110₍₂ = 14₍₁₀

1100₍₂ = 12₍₁₀

1000₍₂ = 8₍₁₀

Pero en esos agrupamientos faltan números naturales. Mejor así:

1₍₂ = 1₍₁₀

10₍₂ = 2₍₁₀

11₍₂ = 3₍₁₀

100₍₂ = 4₍₁₀

101₍₂ = 5₍₁₀

110₍₂ = 6₍₁₀

111₍₂ = 7₍₁₀

1000₍₂ = 8₍₁₀

1001₍₂ = 9₍₁₀

1010₍₂ = 10₍₁₀

1011₍₂ = 11₍₁₀

1100₍₂ = 12₍₁₀

1101₍₂ = 13₍₁₀

1110₍₂ = 14₍₁₀

1111₍₂ = 15₍₁₀

Planteamiento del problema

Vamos a jugar con la siguiente analogía:

• Los números naturales, en su representación numérica binaria, se comportan como vectores de Rⁿ (no son vectores por no existir elemento opuesto en N; "pues tómese Z", pero ya es otro juego –los polinomios en que se descomponen sí son vectores- ).

• Obsérvese que el cardinal de cifras de un número en sistema binario es igual a la dimensión del espacio vectorial de los polinomios que lo descompone:

1₍₂=1₍₁₀=1·2⁰ 11₍₂=3₍₁₀= 1·2¹+1·2⁰ 111₍₂=7₍₁₀=1·2²+1·2¹+1·2⁰ 1111₍₂=15₍₁₀=1·2³+1·2²+1·2¹+1·2⁰

                    10₍₂=2₍₁₀= 1·2¹+0·2⁰ 110₍₂=6₍₁₀=1·2²+1·2¹+0·2⁰ 1110₍₂=14₍₁₀=1·2³+1·2²+1·2¹+0·2⁰

                                                    100₍₂=4₍₁₀=1·2²+0·2¹+0·2⁰ 1100₍₂=12₍₁₀=1·2³+1·2²+0·2¹+0·2⁰

                                                                                            1000₍₂= 8₍₁₀=1·2³+0·2²+0·2¹+0·2⁰

(Esto sucede en cualquier base de numeración.Por ejemplo: 

49 en base 10 tiene dos cifras y se descompone

solo en suma de dos monomios en base 10: 4 x 10 + 9 x 1)

Según este planteamiento, los números entre “dieciséis” y “treinta y uno” son “vectores” en R⁵. Y así sucesivamente con el resto de los números naturales “al representarlos” en base binaria. Es decir, este es el punto de partida de nuestro planteamiento:

“Consideramos vectores de Rⁿ los números naturales que son menores o iguales que 2^(n-1) y mayores que 2^(n-2), para un n ∈ N dado”.

Por ejemplo: Sean 64<67<93<128

64 = 2⁶, luego 64₍₁₀ es vector de R⁷ (1000000₍₂ ∈ R⁷)

128 = 2⁷, luego 128₍₁₀ es vector de R⁸ (10000000₍₂ ∈ R⁸)

Y, por tanto, 67₍₁₀ y 93₍₁₀ son vectores de R⁷ (1000011₍₂ ∈ R⁷ y 1011101₍₂ ∈ R⁷)

Siguiendo con la analogía (“número natural en binario – vector en Rⁿ“), observamos lo siguiente:

{(1)} es base en R¹

{(1, 0), (1, 1)} es base en R² ,

como ya indicamos más arriba.

Pero llegamos a R³, donde nos encontramos con que cuatro vectores se pueden combinar de cuatro maneras diferentes en conjuntos de tres vectores (combinaciones de cuatro elementos tomados de tres en tres). Veámoslos dispuestos en cuatro matrices:

1 0 0      1 0 0      1 0 0       1 0 1

1 0 1      1 0 1      1 1 0       1 1 0

1 1 0      1 1 1      1 1 1       1 1 1

Ya señalamos que los vectores de la tercera matriz representada – {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} – eran base en R³. Pero también lo son las otras tres:

B_3'={(1,0,0), (1,0,1), (1,1,0)}⊂R³

B_3''={(1,0,0), (1,0,1), (1,1,1)}⊂R³

B_3'''={(1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}⊂R³

Sus determinantes son todos distintos de cero. Luego cada fila es linealmente independiente en cada matriz, y, por tanto, los vectores cuyas coordenadas son las filas de cada una de esas matrices forman una base en R³. Esto llama la atención:

• Todos los números naturales que pueden asociarse a vectores en R³ se combinan de tres en tres (la dimensión de R³ es tres) y son “linealmente independientes”.

• Es decir, cualquier conjunto formado por tres de ellos (diferentes entre sí, obviamente) es una base de R³.

Parece llamativo que, siendo cuatro, mayor que la dimensión del espacio R³, tres, no haya ningún vector que sea combinación lineal de los otros.

En base decimal diríamos que los números de cada una de estas triadas son “linealmente independientes”:

4 5 6       4 5 7      4 6 7       5 6 7

Pero, ¿ocurre lo mismo en cualquier dimensión?

Veamos qué sucede en R⁴.

Vamos a replantear la pregunta tomando los “números – vectores” en este espacio vectorial, que son estos:

1000₍₂ = 8₍₁₀

1001₍₂ = 9₍₁₀

1010₍₂ = 10₍₁₀

1011₍₂ = 11₍₁₀

1100₍₂ = 12₍₁₀

1101₍₂ = 13₍₁₀

1110₍₂ = 14₍₁₀

1111₍₂ = 15₍₁₀

Tomemos, por ejemplo, los cuatro primeros números: 8, 9, 10 y 11, expresados en base binaria:

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

El determinante de su matriz es nulo (obsérvese que los elementos de su segunda columna son todos “cero”). Luego, 8, 9, 10 y 11 son “linealmente dependientes” en R⁴.

Esto parecía que era de esperar: si solo cuatro vectores hacen hacen una base en un espacio vectorial de dimensión cuatro, sobran combinaciones de vectores por todos lados.

Las combinaciones posibles de esos ocho “vectores” son setenta (“combinaciones de 8 elementos tomados de 4 en 4”):

Luego, hay que calcular setenta determinantes de orden cuatro. Se calculan y se obtienen doce de ellos con valor cero. Son las combinaciones de cuatro vectores que son linealmente dependientes en R⁴. Siguiendo con nuestro juego, son los siguientes números representados en base decimal (en filas):

Las otras cincuenta y ocho combinaciones de cuatro vectores sí nos dan independencia lineal.

EL RETO

Siguiendo el planteamiento expuesto:

1. ¿Se puede hallar qué combinaciones de n números naturales son “linealmente independientes” en Rⁿ?

2. Si no se puede encontrar qué criterios rigen para combinarse ¿al menos se puede encontrar un criterio para conocer cuántas de ellas serían bases en Rⁿ?

3. A esta última pregunta se podría responder con un algoritmo, pero la pregunta va más allá: ¿se podría formular un teorema que diera ese criterio: tantas combinaciones linealmente dependientes, tantas linealmente independientes?

Nótese, como hemos ido indicando, que esas combinaciones cuentan con el mismo número de vectores que la dimensión del espacio vectorial, luego generan cualquier vector de ese espacio vectorial y, en caso de estar formadas por vectores linealmente independientes, son bases (en el post antes mencionado ya dimos una base para cada espacio vectorial de dimensión n, en relación con números naturales).

Una última consideración: A continuación os presento en una tabla un resumen del planteamiento en cifras. Observad que, si no habéis llegado a la solución del reto antes de la dimensión diecisiete, tendréis que calcular alrededor de 2,13 · 10⁶⁷ determinantes de orden 17.

¡Suerte!