10 de junio de 2013

La inducción matemática es deductiva

Desde tiempos inmemoriales la búsqueda de la verdad ha estado en la mente del ser humano. Los caminos para llegar a ella han sido, sin embargo, muy diversos, aunque la razón parezca haber orientado esa búsqueda. En un esquema básico podríamos distinguir dos caminos: partir de la explicación de un fenómeno hasta su generalización a otros, o bien, partir de algo general para explicar fenómenos particulares. En el primer caso hablaríamos de razonamiento inductivo y en el segundo, de razonamiento deductivo.

En realidad, nos estamos aprovechando del lenguaje coloquial blandiendo el lenguaje matemático. Habría que distinguir el razonamiento inductivo del principio de inducción matemática. Simplemente: el razonamiento inductivo nos arroja verdad sobre una muestra de datos, que extrapolamos a los datos fuera de la muestra y que presumimos equiparables. Pero no tenemos garantizada la certeza, pues no conocemos todas las variables, que supusimos conocidas. El principio de inducción (se le suele calificar como completa o fuerte) siempre nos lleva a la certeza absoluta, pero -claro- estamos hablando de objetos matemáticos (cien por cien formales). Veamos por qué.

El principio de inducción figura como quinto axioma en la formulación que enunció Giuseppe Peano para determinar la construcción de los números naturales (que, como sabéis, es un conjunto que viene caracterizado así: N . En la matemática actual se suele aceptar al cero como número natural):


I) 0 ∈ N
(“cero” pertenece al conjunto N; “cero” es un número natural)

II) a ∈ N ⇒ sig(a) ∈ N
(El siguiente de cualquier elemento de N pertenece a N)

III) a ∈ N ⇒ sig(a) ≠ 0
(“cero” no es el siguiente elemento de ningún elemento de N)

IV) sig(a) = sig(b) ⇒ a = b
(Si los siguientes de dos elementos son iguales, entonces esos elementos son iguales)

V) Axioma de inducción completa, dice así:


(Cualquier subconjunto A incluido en N que contenga al "cero", y donde se verifique que, por tener un elemento, tiene a su siguiente, es el mismo N; tiene a todos los números naturales)


Antes de meternos en harina, es necesario recalcar que:
«(...) Peano NO quería fundamentar las matemáticas en la Lógica, que para él sólo era una disciplina auxiliar de la matemática»1.

Y, sin embargo, el sistema axiomático de Peano bebe de otras partes de las matemáticas, como la Teoría de Conjuntos. En su planteamiento se produce una circularidad que Hilbert supuso franqueable, pero que posteriormente Gödel demostró insalvable: La misma consistencia de una teoría matemática es una de las proposiciones que no se pueden demostrar, sino que, simplemente, hay que suponer -"en un acto de fe"-. Pero eso es otro cantar, y a nosotros nos trae la verdad matemática.

Conviene aclarar que Peano presuponía la idea de conjunto. Con ello entendía también que un conjunto queda determinado por comprensión cuando se afirma que todos sus elementos cumplen una propiedad. Por tanto, decir que un elemento pertenece a un conjunto A equivale a afirmar que dicho elemento cumple una propiedad común a los otros elementos de A.

A continuación vamos a describir un proceso didáctico que permita comprender mejor en qué consiste el axioma de inducción y por qué el principio de inducción matemática es un razonamiento deductivo.


1ª FASE: Interpretación del axioma de inducción basándonos en una propiedad P

La interpretación del axioma de inducción podríamos representarla así:

Sea A =  { n ∈ N / P(n) } = { elementos de N que cumplen la propiedad P } , A ⊂ N






2ª FASE: Separando proposiciones (lenguaje proposicional)

Lo anterior quedaría expresado en el lenguaje de la Lógica proposicional de la siguiente forma:


3ª FASE: Ambas premisas han de ser ciertas y se cumple la conclusión

Por eso, en una demostración matemática en que se pueda establecer una relación de sus objetos a demostrar (o propiedades) con los números naturales, hemos de demostrar que tanto la premisa (se cumple para el "cero", primer elemento de N) como la premisa Y (si se cumple para un número natural cualquiera, se cumple para el siguiente) son ciertas. Si es así, el axioma de inducción nos da la conclusión Z (es decir que se cumple para cualquier número natural la propiedad que queremos demostrar).

Ilustrémoslo con un ejemplo "chorra": ¿Cualquier potencia de dos de un numero natural es mayor que ese número natural? (Es decir, la propiedad que queremos demostrar)



Vamos a por la primera premisa:





4ª FASE: ¡La segunda premisa es un condicional! (Ponendo ponens)

Suele ser esta fase en la que solemos asociar la demostración al principio de inducción, pero debemos recalcar que la anterior (demostrar que el primer elemento de los números naturales cumple la propiedad) es tan importante como ésta; es una premisa que debe ser tan válida como ésta. Pero, sigamos.

La segunda premisa se puede expresar así:




Antes de seguir con el ejemplo, obsérvese que debemos demostrar que se cumple la implicación; o sea, suponiendo cierta la hipótesis, h, (a1 ∈ A), la tesis, t, ((a1 + 1) ∈ A) debe ser cierta. Esto es una regla de Lógica, de acuerdo a los valores de verdad del operador  implicación. Ésta es su tabla de verdad:



Donde se han descartado los valores falsos (v(h) = 0) de la hipótesis h (la suponemos cierta, pues el axioma nos lo exige: ∈ A). Según esto, la implicación  t sólo es cierta (v( t) = 1) si, y sólo si, la tesis t también es cierta (v(t) = 1). (ESTO ES DEDUCTIVO)

Siguiendo con el ejemplo, la proposición Y la expresamos de esta forma:



Así, pues, hagamos la demostración de esta implicación lógica (y a la vez condicional matemático). "Esto ya vuelve a ser matemáticas":

Sabemos que: 
También sabemos que:
Hagamos uso de otro "sentencia" válida: la hipótesis h
Y apliquémosla:
Además, por la premisa X, si 2 elevado a "cero" es igual a uno, podemos afirmar, cuando menos que:
Y, que, por lo tanto:
Juntemos todos los pasos que hemos ido desgranando y la demostración queda expresada así:


(c.q.d)

Espero que el ejemplo haya servido para mostrar en qué consiste el principio de inducción matemática, para verdades matemáticas, insisto.

Por cierto, no creáis que Sherlock Holmes resolvía los crímenes por el principio de inducción; lo hacía por razonamiento inductivo, no sólo deductivo (o quizá ninguno de los dos). Porque, al parecer, queridos amigos, la verdad no es tan elemental, la verdad.



 1 Kline, M (2002, p. 1304): El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, III. Alianza


7 comentarios:

  1. Acabo de entender la idea de la demostracion por induccion, es pura logica. Muchisimas grasias!!

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  2. Echo de menos una demostración más numérica pero el post es impecable.

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  3. Brillante!! al menos para aquellos a los que los números han traido tranquilidad en algún momento de su existencia!

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  4. Ch. S. Peirce (y, siguiendolo a el, U. Eco) consideran que todo razonamiento creativo parte de la abducción; y que las famosas "deducciones" de Sh. Holmes son realmente abducciones.

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    1. Sí eso se ha escrito. Por eso matizo: "[Sherlock Holmes] lo hacía por razonamiento inductivo, no sólo deductivo (o quizá ninguno de los dos)".

      Gracias por la aportación.
      Un saludo

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  5. Elemental amigo watson todo numero elevado a uno es mayor que uno, asi sea uno elevado a la 0,1.

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    1. No es cierto que todo número elevado a uno sea mayor que uno (contraejemplos: todos los negativos, todos los reales menores que uno :P).
      En todo caso, la demostración de algo tan "chorra" (pero no elemental) es sólo un vehículo para mostrar la explicación del principio de inducción matemática.
      Un saludo

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