10 de julio de 2015

Los columpios infantiles no se acoplan (o no se nota)

Huygens (s.XVII) descubrió que un sistema oscilatorio transmite su energía a otro sistema en reposo a través de un medio material, de manera que el segundo sistema pasa a oscilar con la misma frecuencia. Se dice que ambos sistemas están en resonancia. Los columpios infantiles no muestran este fenómeno porque se minimiza casi hasta anularse la transmisión de su energía “oscilatoria” en su conexión con mínimo rozamiento a la barra que los sujeta. Pero dejadme que os describa un vistoso experimento basado en el columpio cambiando algunas cosas.

Montamos un dispositivo con cuatro péndulos, que a priori consideramos sistemas independientes, como muestra la siguiente ilustración:


Fig. 1
  • A dos soportes rígidos se les ata un hilo textil tenso.
  • Se construyen cuatro péndulos, de igual longitud dos a dos: se utiliza el mismo hilo textil en cuyos extremos se atan dos o tres tuercas de acero.
  • Se atan los péndulos al hilo entre los soportes (que hemos denominado “hilo transmisor”) como muestra la figura (insisto,intentando que la longitud, Limpar, de los péndulos 1 y 3 sea la misma, y que la longitud, Lpar, de los péndulos 2 y 4 también sea otra igual).

¿QUÉ OBSERVAMOS?
  • Cuando alejamos levemente el péndulo 1 de su vertical y lo soltamos, este empieza a oscilar (en el plano xy), y, en un ratito, comienza a oscilar el péndulo 3, sin haber actuado directamente sobre él (sin tocarlo). La amplitud de la oscilación del péndulo 1 se va atenuando según se amplía la oscilación del 3, y luego se para el péndulo 3 y vuelve a oscilar el péndulo 1. Hasta que, por disipación, ambos se paran. Mientras, apenas se nota leve vibración en los péndulos 2 y 4.
  • Paramos el movimiento y repetimos la prueba con el péndulo 2. En esta ocasión pasa a oscilar claramente el péndulo 4; apenas vibran el 1 y el 3.
  • Hemos observado lo que esperábamos: en un caso y en otro hay un sistema oscilador (péndulos 1 y 2 respectivamente) que cede energía a otro sistema que pasa a oscilar con la misma frecuencia. Decimos que los péndulos 1 y 3 (y los péndulos 2 y 4) están en resonancia, son péndulos acoplados.

¿POR QUÉ OCURRE ESTO?

1. La oscilación del péndulo 1

El péndulo 1 (análogo con el péndulo 2) tiene energía en su oscilación:


Fig. 2
Al desplazarlo de su posición de equilibrio, le hemos aportado energía potencial, Ep. Al soltarlo, la energía potencial va transformándose en energía cinética, Ec. Despreciando el rozamiento con el aire, esta energía se conservaría en el sistema del péndulo:


Ec + Ep = E

De tal manera que se produciría una “oscilación” entre la energía cinética y la energía potencial: cuando el péndulo está más lejano de su posición de equilibrio (cuando ha descrito su amplitud), la fuerza restauradora, F, (vector) resultante del peso, P, sobre la masa del péndulo y la tensión del hilo, T, es máxima, al igual que su energía potencial, pero su velocidad es nula; pero cuando la masa pasa por la posición de equilibrio, perpendicular al suelo, la fuerza restauradora F es nula, también su energía potencial, pero su velocidad y, por tanto, su energía cinética es máxima.


Fig. 3
2. La oscilación del péndulo 3

Ahora bien, ¿por qué el péndulo 3 empieza a oscilar? En principio, simplemente, porque hay contacto material entre el péndulo 1 y el péndulo 3. Pero pensemos en lo siguiente:

En realidad, el péndulo está unido al “hilo transmisor”. De manera que parte de la energía E es transferida a este. La fuerza restauradora se transmite como un par de fuerzas que provocan la torsión del hilo (en rosa):


Fig. 4
La estructura longitudinal del hilo favorece que el par de fuerzas actúe progresivamente a lo largo del hilo; de alguna forma el par se propaga en esa dirección (en los dos sentidos, de un extremo al otro del hilo transmisor). Como el hilo es elástico, cuando el péndulo ha cruzado la posición de equilibrio, cuando ha dado media oscilación, la fuerza restauradora vuelve a ser máxima pero en sentido contrario; cambia el sentido de torsión del hilo:

Fig. 5
Por todo ello, la oscilación del péndulo produce una alternancia en el sentido de torsión del hilo. Esta alternancia se puede interpretar como una oscilación de las partículas en la superficie del hilo que describen un arco con un ángulo α. El período de esta oscilación es el mismo que el del péndulo. Y, por tanto, el hilo es portador de parte de la energía del péndulo. Esta energía recorre todo el hilo, y sólo se transmite a otro sistema que pueda oscilar con el mismo período (principio de resonancia). Esto solo lo puede hacer el péndulo 3, por tener la misma longitud que el péndulo 1, ya que el período de oscilación de un péndulo solo depende de su longitud (para oscilaciones con amplitudes pequeñas). De acuerdo con la siguiente ecuación:

Siendo T el período de oscilación, g, la aceleración de la gravedad terrestre (constante), la única variable es la longitud del péndulo, L.

Por eso sólo se intercambia la energía de la oscilación entre ellos; el péndulo 3 realiza oscilaciones forzadas, porque su energía proviene de un sistema exterior (así lo consideramos), del péndulo 1. (De manera análoga para los péndulos 2 y 4). No tocamos el péndulo 3; el péndulo 1 se encarga de aportarle energía.


Sin embargo, esto fue una leve experiencia, sobre la que cabe alguna observación. Revisando el modelo de torsión del hilo transmisor, imaginad que este fuera un sólido rígido, un cilindro que no estuviera anclado, sino que pudiera girar:


Fig. 6
El ángulo α de la amplitud de la oscilación del péndulo (respecto al centro de giro del supuesto cilindro rígido) sería igual al del arco de giro, del cilindro en cualquier punto de su superficie. De manera que el tiempo que emplea el péndulo para ir de C a D sería el mismo que el tiempo que emplearía un punto desde la posición B para llegar a la posición A en la superficie del cilindro.
Así pues, como este ángulo también sería el mismo para otro péndulo más largo, el tiempo empleado en recorrer la trayectoria C’D’ sería igual. Puesto que la velocidad angular sería la misma. Por tanto, los períodos serían idénticos.
Pero esto no sucede así, ya que ni la cuerda del péndulo ni el hilo son rígidos.
Al ser ambos elásticos, se crean fuerzas restauradoras que les llevan a recuperar su posición inicial de equilibrio o reposo:

Fig. 8
Fig. 7
La figura 7 representa una posición del péndulo respecto al hilo fuera de su posición de equilibrio: su ángulo es distinto de α, el par efectivo en la torsión del hilo es diferente al ejercido por la fuerza restauradora F que comentamos para el péndulo. La figura 8 representa la torsión del hilo en un instante: el giro se propaga en forma de onda “cuasi” longitudinal por todo el hilo, con una longitud de onda λ. En suma, la onda longitudinal que recorre el hilo lleva parte de la energía del péndulo propagador hasta otro sistema unido al hilo que pueda recoger dicha energía en el instante justo, es decir, que recoja el impulso mecánico de la torsión del hilo en el instante adecuado, o, lo que es lo mismo, con el mismo período de oscilación, que sólo depende de su longitud.

En conclusión, ese instante "adecuado" es el instante en que se da el fenómeno de la resonancia, como cuando, jugando con el columpio, le das impulso a tu hijo en el instante adecuado. Recordando siempre medir tu impulso, puedes hacerlo sin miedo, que el columpio de al lado no interfiere (o no se nota).



NOTA: Idealmente, cuando se hubiera parado el péndulo "propagador" (el 1), al haber cedido toda su energía, el péndulo receptor (el 3) tendría su mayor amplitud, al haber recibido la mayor cantidad de energía. Además, una vez se hubiera detenido este segundo péndulo, de nuevo el primer péndulo se habría encontrado en su mayor amplitud. Pero esto no se llega a observar bien. Se observa, sin embargo, que el péndulo propagador se mantiene oscilando mientras el receptor arranca y para varias veces. Un factor explicativo de esto puede residir en que las longitudes de los péndulos acoplados no son exactamente iguales, lo que también explicaría por qué cuando oscilan simultáneamente no lo hacen en la misma fase. Por otro lado, parte de la energía se disipa en el hilo, en el aire y en los otros péndulos. Y, por supuesto, la ecuación del período del péndulo es válida para pequeñas amplitudes, pero hay que realizar una amplitud inicial que se sale de ese umbral, con tal de apreciar el fenómeno.



2 comentarios:

  1. Muy, muy interesante, si señor

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  2. Notable post. Tengo mis dudas si no sería posible interpretar todo como un sistema y no cada péndulo por separado, pero reconozco que así está muy expuesto para describir el principio de resonancia. Muy didáctico.

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